熊本大学 2021年度理系数学第3問（理工系）解答・解説

問題

複素数 $w$ は実部，虚部ともに正であるとする．相異なる複素数 $α ，$ $β ，$ $γ$ は ${(w + 2) α}^{2} + (w β)^{2} - (2 γ)^{2}$ $= 4 (w + 2) α^{2} + 2 w^{2} α β - 8 α γ$ を満たすとする． $α ，$ $β ，$ $γ$ を表す複素数平面上の点をそれぞれ $A ，$ $B ，$ $C$ とする．(問1)　 $(\frac{γ - α}{β - α})^{2}$ を $w$ を用いて表せ．(問2)　 $△ A B C$ が正三角形であるときの $w$ の値を求めよ．(問3)　 $△ A B C$ が正三角形であるとする． $w = α$ かつ $△ A B C$ の重心が点 $\frac{w ^{2}}{2}$ であるとき， $β$ と $γ$ の値を求めよ．

出典：熊本大学 2021年度前期理系第3問

方針

$(γ - α) / (β - α)$ を $u$ として与式を整理する。正三角形では $u$ が $6 0^{\circ}$ の回転比になり，最後は重心条件と連立する。

解答

(問1)

$d = β - α$ ， $u = \frac{γ - α}{β - α}$ とおく。 $d \neq = 0$ ， $β = α + d$ ， $γ = α + u d$ を与式に代入して整理すると

w^{2} d^{2} - 4 u^{2} d^{2} = 0

となる。よって

(\frac{γ - α}{β - α})^{2} = \frac{w ^{2}}{4} .

(問2)

正三角形では

\frac{γ - α}{β - α} = \frac{1 + 3 i}{2} または \frac{1 - 3 i}{2} .

また問1より $u = \pm w /2$ 。 $w$ の実部，虚部がともに正であることから

w = 1 + 3 i .

(問3)

正三角形条件から $γ - α = \frac{w}{2} (β - α)$ 。 $α = w$ ， $d = β - w$ とおくと $γ = w + \frac{w}{2} d$ 。重心条件より

\frac{w + ( w + d ) + ( w + \frac{w}{2} d )}{3} = \frac{w ^{2}}{2} .

したがって

d = \frac{3 w ( w - 2 )}{w + 2} = - 3 + 3 i .

$w = 1 + 3 i$ なので

β = - 2 + 23 i, γ = - 2.

熊本大学 2021年度理系数学 第3問（理工系）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2021年度
理系数学第3問（理工系）