熊本大学 2021年度理系数学第4問（理工系）解答・解説

問題

次の問いに答えよ．(問1)　 $n$ を正の整数とするとき，定積分 $\int_{0}^{2 π} ∣ sin n x - sin 2 n x ∣ d x$ を求めよ．(問2)　 $c$ を正の数とするとき， $lim_{n \to \infty} \int_{0}^{c} ∣ sin n x - sin 2 n x ∣ d x$ を求めよ．

出典：熊本大学 2021年度前期理系第4問

方針

一周期分の絶対値積分を先に求め， $u = n x$ と周期性で問1を出す。問2は $n c$ を周期部分と余りに分け，余りの寄与が消えることを示す。

解答

(問1)

$h (u) = ∣ sin u - sin 2 u ∣$ とする。 $0 ≦ u ≦ 2 π$ で $sin u - sin 2 u = sin u (1 - 2 cos u)$ の零点は $0, \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}, 2 π$ 。符号に注意して積分すると

\int_{0}^{2 π} h (u) d u = 5.

よって $u = n x$ と周期性から

\int_{0}^{2 π} ∣ sin n x - sin 2 n x ∣ d x = \frac{1}{n} \int_{0}^{2 nπ} h (u) d u = 5.

(問2)

$n c = 2 π q_{n} + r_{n}$ ， $0 ≦ r_{n} < 2 π$ とおくと

\int_{0}^{c} h (n x) d x = \frac{5 q _{n}}{n} + \frac{1}{n} \int_{0}^{r_{n}} h (u) d u .

余り部分は $0$ に近づき， $q_{n} / n \to c / (2 π)$ 。したがって

n \to \infty lim \int_{0}^{c} ∣ sin n x - sin 2 n x ∣ d x = \frac{5 c}{2 π} .

熊本大学 2021年度理系数学 第4問（理工系）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

熊本大学 2021年度
理系数学第4問（理工系）