熊本大学 2021年度理系数学第3問（医学部医学科）解答・解説

問題

媒介変数 $t$ を用いて表された曲線 $C ： x = \frac{1}{2} (e^{t} + e^{- t}) ，$ $y = \frac{1}{2} (e^{t} - e^{- t})$ を考える．(問1)　点 $M$ の座標を $(0, 1)$ とする．曲線 $C$ 上の点 $P$ に対して， $M P$ を最小にする $t$ の値 $t_{0}$ を求めよ．(問2)　(問1)の $t_{0}$ に対する曲線 $C$ 上の点を $Q$ とする． $Q$ における $C$ の接線を $l$ とするとき，曲線 $C$ と接線 $l$ および $x$ 軸で囲まれた部分 $D$ の面積を求めよ．(問3)　(問2)の $D$ を $y$ 軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積を求めよ．

出典：熊本大学 2021年度前期理系第3問

方針

媒介表示から $x^{2} - y^{2} = 1$ を得る。距離最小は $M P^{2}$ を $y$ の二次式にし，面積は接線下の三角形から曲線下を引く。体積は $y$ で切った円環の積分で求める。

解答

(問1)

曲線は $x^{2} - y^{2} = 1$ ， $x > 0$ 。したがって

M P^{2} = x^{2} + (y - 1)^{2} = 2 (y - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} .

最小は $y = \frac{1}{2}$ 。 $u = e^{t}$ とおくと $u - u^{- 1} = 1$ ，すなわち $u^{2} - u - 1 = 0$ 。よって

t_{0} = lo g \frac{1 + 5}{2} .

(問2)

$Q = (\frac{5}{2}, \frac{1}{2})$ 。接線は $y = 5 x - 2$ ， $x$ 軸との交点は $x = \frac{2}{5}$ 。接線と $x$ 軸の三角形の面積は $\frac{5}{40}$ 。また

\int_{1}^{5 /2} x^{2} - 1 d x = \int_{0}^{t_{0}} (\frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2})^{2} d t = \frac{5}{8} - \frac{t _{0}}{2} .

したがって

[D] = \frac{1}{2} lo g \frac{1 + 5}{2} - \frac{5}{10} .

(問3)

$0 ≦ y ≦ \frac{1}{2}$ で，右端は $x = 1 + y^{2}$ ，左端は $x = \frac{y + 2}{5}$ 。よって体積は

π \int_{0}^{1/2} {1 + y^{2} - (\frac{y + 2}{5})^{2}} d y = \frac{π}{30} .

熊本大学 2021年度理系数学 第3問（医学部医学科）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2021年度
理系数学第3問（医学部医学科）