熊本大学 2020年度文系数学第4問解答・解説

問題

$k ，$ $s ，$ $t$ を実数とする．座標空間に原点 $O ，$ $A$ $(1, - 1, 1) ，$ $B$ $(0, 1, 1) ，$ $C$ $(- 1, 0, k)$ の $4$ 点をとる． $O D = (1 - s) O A$ で定まる点を $D ，$ $O E = t O B + (1 - t) O C$ で定まる点を $E$ とし， $O P = D E$ により定まる点を $P$ とする．以下の問いに答えよ．(問1)　点 $P$ の座標を $k ，$ $s ，$ $t$ を用いて表せ．(問2)　点 $P$ が $0 ≦ s ≦ 1 ，$ $0 ≦ t ≦ 1$ を満たしながら動くとき，点 $P$ が動いてできる平行四辺形を $P (k)$ とし，その面積を $S (k)$ とする． $k$ が実数全体を動くとき， $S (k)$ の最小値と，そのときの $k$ の値を求めよ．(問3)　(問2)で求めた $k$ に対し，平行四辺形 $P (k)$ を底面とし，点 $O$ を頂点とする四角錐の体積を求めよ．

出典：熊本大学 2020年度前期文系第4問

方針

$P = E - D$ を座標計算し， $s, t$ の係数ベクトルが張る平行四辺形として面積を求める。面積は内積公式，体積は底面の平面方程式と原点からの距離で求める。

解答

(問1)

D = (1 - s, - 1 + s, 1 - s), E = (t - 1, t, k + (1 - k) t)

より

P = (s + t - 2, t + 1 - s, s + k - 1 + (1 - k) t) .

(問2)

$P$ は二つの方向ベクトル

u = (1, - 1, 1), v = (1, 1, 1 - k)

が張る平行四辺形を動く。 $∣ u ∣^{2} = 3$ ， $∣ v ∣^{2} = k^{2} - 2 k + 3$ ， $u \cdot v = 1 - k$ より

S (k)^{2} = ∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2} - (u \cdot v)^{2} = 2 (k - 1)^{2} + 6.

よって最小値は $6$ ，そのとき $k = 1$ 。

(問3)

$k = 1$ の底面の平面は，法線ベクトルを $(1, - 1, - 2)$ として

x - y - 2 z = - 3

である。原点からの距離は $3/ 6$ 。底面積は $6$ なので体積は

\frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{3}{6} = 1.

熊本大学 2020年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2020年度
文系数学第4問