熊本大学 2020年度文系数学第3問解答・解説

問題

$x y$ 平面において， $x ，$ $y$ がともに整数であるとき，点 $(x, y)$ を格子点とよぶ． $n$ を自然数とするとき， $3$ 直線 $y = \frac{2}{3} x + \frac{n}{3} ，$ $y = x - n ，$ $x = n$ で囲まれた図形を $D_{n}$ とする．また， $D_{n}$ の周上および内部の格子点の個数を $L_{n}$ とする．以下の問いに答えよ．(問1)　 $L_{3}$ を求めよ．(問2)　 $k$ を $0$ 以上の整数とする．直線 $l ： x = n + 3 k$ が $D_{n}$ と交わるとき， $D_{n}$ の周上および内部の格子点で $l$ 上にあるものの個数を $n$ と $k$ を用いて表せ．(問3)　 $L_{n}$ を $n$ を用いて表せ．

出典：熊本大学 2020年度前期文系第3問

方針

三角形の頂点を確認し，整数 $x = n + j$ の縦列ごとに格子点数を数える。 $j$ を3で割った余りごとに分けると上端の整数処理が簡単になる。

解答

(問1)

問3の式に $n = 3$ を入れて

L_{3} = \frac{( 3 + 1 ) ( 3 \cdot 3 + 2 )}{2} = 22.

(問2)

$x = n + 3 k$ 上では下端が $y = 3 k$ ，上端が

y = \frac{2}{3} (n + 3 k) + \frac{n}{3} = n + 2 k .

交わるのは $0 ≦ k ≦ n$ のときで，格子点数は

(n + 2 k) - 3 k + 1 = n - k + 1.

(問3)

$x = n + j$ ， $0 ≦ j ≦ 3 n$ とする。下端は $y = j$ ，上端は $y = n + \frac{2 j}{3}$ 。 $j = 3 k$ では個数 $n - k + 1$ ， $j = 3 k + 1, 3 k + 2$ ではそれぞれ $n - k$ 。したがって

L_{n} = k = 0 \sum n (n - k + 1) + 2 k = 0 \sum n - 1 (n - k) = \frac{( n + 1 ) ( 3 n + 2 )}{2} .

熊本大学 2020年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2020年度
文系数学第3問