熊本大学 2020年度文系数学第2問解答・解説

問題

$a < b < c$ を満たす実数 $a ，$ $c$ と整数 $b$ に対し， $g (x) = (x - a) (x - b) (x - c)$ とする．また， $f (x) = g (x) - g^{'} (x)$ とする．以下の問いに答えよ．(問1)　 $f (a) < 0 ，$ $f (b) > 0 ，$ $f (c) < 0$ となることを示せ．(問2)　 $f (x) = (x + 1) (x^{2} - 4 x + 2)$ のとき， $a ，$ $b ，$ $c$ の値を求めよ．(問3)　(問2)で求めた $a ，$ $b ，$ $c$ から定まる曲線 $y = g (x)$ と $y = f (x)$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

出典：熊本大学 2020年度前期文系第2問

方針

根での値は $f = - g^{'}$ で符号を判断する。問2は $g = x^{3} - s_{1} x^{2} + s_{2} x - s_{3}$ とおいて係数比較する。問3は $g - f = g^{'}$ から交点を出し，面積を積分する。

解答

(問1)

$g (a) = g (b) = g (c) = 0$ だから $f (a) = - g^{'} (a)$ などである。

g^{'} (a) = (a - b) (a - c) > 0, g^{'} (b) = (b - a) (b - c) < 0, g^{'} (c) = (c - a) (c - b) > 0

より $f (a) < 0, f (b) > 0, f (c) < 0$ 。

(問2)

$g = x^{3} - s_{1} x^{2} + s_{2} x - s_{3}$ とおくと

f = x^{3} + (- s_{1} - 3) x^{2} + (s_{2} + 2 s_{1}) x + (- s_{3} - s_{2}) .

$(x + 1) (x^{2} - 4 x + 2) = x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 2$ と係数比較して

s_{1} = 0, s_{2} = - 2, s_{3} = 0.

よって $g = x^{3} - 2 x = x (x^{2} - 2)$ 。 $a < b < c$ ， $b$ は整数より

a = - 2, b = 0, c = 2 .

(問3)

$g^{'} = 3 x^{2} - 2$ 。交点は $g^{'} = 0$ より $x = \pm 2/3$ 。この間で $f > g$ だから面積は

\int_{- 2/3}^{2/3} (2 - 3 x^{2}) d x = \frac{8 6}{9} .

熊本大学 2020年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2020年度
文系数学第2問