熊本大学 2020年度文系数学第1問解答・解説

問題

$a$ を定数とし， $y = (sin θ + a) (cos θ + a)$ とする．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ とする．以下の問いに答えよ．(問1)　 $t = sin θ + cos θ$ とするとき， $y$ を $a$ と $t$ を用いて表せ．(問2)　 $t$ のとりうる値の範囲を求めよ．(問3)　 $y$ の最大値と最小値を $a$ を用いて表せ．

出典：熊本大学 2020年度前期文系第1問

方針

$t^{2} = 1 + 2 sin θ cos θ$ で $y$ を二次関数にし， $t = 2 sin (θ + π /4)$ から範囲を出す。最大最小は区間上の二次関数として処理する。

解答

(問1)

t^{2} = 1 + 2 sin θ cos θ

より

y = \frac{1}{2} t^{2} + a t + a^{2} - \frac{1}{2} .

(問2)

t = sin θ + cos θ = 2 sin (θ + \frac{π}{4})

より

- 2 ≦ t ≦ 2 .

(問3)

$y$ は $t$ の下に凸の二次関数である。最大値は端点で

a^{2} + \frac{1}{2} + 2 ∣ a ∣.

最小値は頂点 $t = - a$ が区間に入るかで

⎩ ⎨ ⎧ \frac{a ^{2} - 1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} - 2 ∣ a ∣ (∣ a ∣ ≦ 2), (∣ a ∣ ≧ 2)

である。

熊本大学 2020年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2020年度
文系数学第1問