北海道大学 2026年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

1個のさいころを投げる試行を繰り返す。最初の持ち点は1とし，3の目が出たときは持ち点を3倍，5の目が出たときは持ち点を5倍，3と5以外の目が出たときは持ち点を2倍する。たとえば3回試行して出た目が順に6，3，5のとき，持ち点は $1 \times 2 = 2, 2 \times 3 = 6, 6 \times 5 = 30$ と変化し，最後の持ち点は30である。次の問いに答えよ。

(1) $3$ 回試行したとき，最後の持ち点が4の倍数となる確率を求めよ。

(2) 4回試行したとき，最後の持ち点が平方数となる確率を求めよ。ただし，平方数とは，ある自然数の2乗となる数のことであり，たとえば4，9，16は平方数である。

出典：北海道大学 2026年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

最後の持ち点を $2, 3, 5$ の指数で表す。3と5以外の目が出た回数が2の指数、3の目が出た回数が3の指数、5の目が出た回数が5の指数になるので、(1)は2の指数、(2)は3つの指数の偶奇に注目して数え上げる。

解答

(1)

3と5以外の目が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ であり、このとき持ち点は2倍される。3の目または5の目が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ であり、このときは2の因数は増えない。

3回の試行のうち、2倍される回数を $X$ とする。最後の持ち点が4の倍数となるには、2の因数が少なくとも2個必要なので、 $X ≧ 2$ であればよい。したがって求める確率は

_{3} C_{2} (\frac{2}{3})^{2} (\frac{1}{3}) + (\frac{2}{3})^{3}

である。これを計算して

3 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} + \frac{8}{27} = \frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{20}{27}

となる。

(2)

4回の試行後の持ち点は $2^{a} 3^{b} 5^{c}$ と表される。ただし、 $a$ は3と5以外の目が出た回数、 $b$ は3の目が出た回数、 $c$ は5の目が出た回数であり、 $a + b + c = 4$ である。

この数が平方数となるには、素因数分解におけるすべての指数が偶数であればよい。よって $(a, b, c)$ は $(4, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, 4), (2, 2, 0), (2, 0, 2), (0, 2, 2)$ のいずれかである。

それぞれの確率を足し合わせる。まず $P (4, 0, 0) = (\frac{2}{3})^{4}$ である。また $P (0, 4, 0) + P (0, 0, 4) = 2 (\frac{1}{6})^{4}$ である。さらに

P (2, 2, 0) + P (2, 0, 2) = 2 \cdot \frac{4 !}{2 ! 2 !} (\frac{2}{3})^{2} (\frac{1}{6})^{2}

であり、 $P (0, 2, 2) = \frac{4 !}{2 ! 2 !} (\frac{1}{6})^{4}$ である。

したがって求める確率は

(\frac{2}{3})^{4} + 2 (\frac{1}{6})^{4} + 2 \cdot \frac{4 !}{2 ! 2 !} (\frac{2}{3})^{2} (\frac{1}{6})^{2} + \frac{4 !}{2 ! 2 !} (\frac{1}{6})^{4} .

整理すると

\frac{16}{81} + \frac{2}{1296} + \frac{4}{27} + \frac{1}{216} = \frac{128 + 1 + 96 + 3}{648} = \frac{19}{54}

である。

北海道大学 2026年度文系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2026年度
文系数学前期第4問