問題
を原点とする座標空間に3点，，をとる。3点を通る平面上に点をとる。次の問いに答えよ。
(1) を満たす実数をとる。の座標をとを持ちて表せ。
(2) 3点を通る平面と直線が直交するとき，の座標を求めよ。
(3) 四面体の体積を求めよ。
方針
解法1
平面 上の点を の一次結合で表し、まず の座標を で求める。直線 が平面と直交する条件は、 が平面内の2つの独立な方向ベクトル の両方に垂直であることに置き換える。体積は底面を座標平面上に選び、高さを距離として読む。
解法2
平面 の方程式を先に求める。 と に垂直なベクトルを平面の法線ベクトルとして使えば、 が平面に垂直なとき は原点を通る法線上にあることが分かる。
解答
解法1
(1)
である。したがって
となる。
よって である。
(2)
直線 が平面 と直交するので、 は平面 内の方向ベクトル と の両方に垂直である。すなわち
である。
(1)より であるから、まず
であり、 を得る。また
であるから、 である。 を代入すると より となる。
したがって である。
(3)
底面を三角形 とみる。点 はいずれも平面 上にあり、 である。これらは垂直で、長さはそれぞれ だから、三角形 の面積は である。
点 から平面 までの距離は である。よって四面体 の体積は である。
解法2
(1)
であるから、
である。よって となる。
(2)
と の両方に垂直なベクトルとして、例えば をとることができる。実際、 である。
したがって平面 は、点 を通り法線ベクトル をもつから、 すなわち である。
直線 がこの平面に垂直であるとき、 は原点を通り法線ベクトル の方向にあるので、 とおける。これが平面 上にあるから、 より である。したがって を得る。
(3)
三角形 は平面 上にある。、、かつ であるから、その面積は である。点 から平面 までの距離は なので、四面体 の体積は である。