問題
関数について，次の問いに答えよ。ただし，はを満たす定数とする。
(1) の極値をすべて求めよ。
(2) におけるの最大値を求めよ。
(3) 定積分を求めよ。
出典：北海道大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
導関数の符号変化から極値と区間内の増減を確定する。区間最大では端点と極値候補を比較し、絶対値積分では の符号が で変わることを用いて積分区間を分ける。最後は原始関数の値を端点ごとに代入し、符号を誤らないように整理する。
解答
(1)
である。したがって、 となるのは である。
導関数の符号を調べると、 で 、 で 、 で である。よって で極大、 で極小となる。それぞれの値は
である。したがって極大値は 、極小値は である。
(2)
に含まれる極値候補は と であり、端点 も比較する。各値は
である。ここで より であるから、 となる。
よって における最大値は である。
(3)
であり、 だから、 では 、 では である。 なので、絶対値を外すと となる。
原始関数を とおくと、 である。したがって ゆえに である。