北海道大学 2026年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ は，すべての項が正であり，次の条件を満たすとする。

a_{1} = 4, a_{n + 1} (a_{n} + 1) = 2 (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

次の問いに答えよ。

(1) $b_{n} = \frac{1}{a _{n} + 2}$ とおく。 $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ で表せ。

(2) ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

出典：北海道大学 2026年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

問題で指定された $b_{n} = 1/ (a_{n} + 2)$ によって分数型の漸化式を一次漸化式へ直す。得られる式は定数項をもつので、まず固定値 $1/3$ を見つけ、 $b_{n} - 1/3$ が等比数列になることを利用する。最後に $a_{n} = 1/ b_{n} - 2$ へ戻し、分母を整理する。

解答

(1)

漸化式より $a_{n + 1} = \frac{2}{a _{n} + 1}$ である。したがって

b_{n + 1} = \frac{1}{a _{n + 1} + 2} = \frac{1}{\frac{2}{a _{n} + 1} + 2} = \frac{a _{n} + 1}{2 ( a _{n} + 2 )}

となる。

ここで $\frac{a _{n} + 1}{a _{n} + 2} = 1 - \frac{1}{a _{n} + 2} = 1 - b_{n}$ であるから、 $b_{n + 1} = \frac{1}{2} (1 - b_{n})$ である。

(2)

(1)より $b_{n + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} b_{n}$ である。この漸化式の一定値を $c$ とおくと $c = \frac{1}{2} (1 - c)$ より $c = \frac{1}{3}$ である。したがって $b_{n + 1} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{2} (b_{n} - \frac{1}{3})$ となる。

また $b_{1} = \frac{1}{a _{1} + 2} = \frac{1}{6}$ であるから、 $b_{1} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{6}$ である。よって

b_{n} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{6} (- \frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{3 \cdot 2 ^{n}}

となり、 $b_{n} = \frac{1}{3} + \frac{( - 1 ) ^{n}}{3 \cdot 2 ^{n}} = \frac{2 ^{n} + ( - 1 ) ^{n}}{3 \cdot 2 ^{n}}$ を得る。

したがって

a_{n} = \frac{1}{b _{n}} - 2 = \frac{3 \cdot 2 ^{n}}{2 ^{n} + ( - 1 ) ^{n}} - 2 = \frac{2 ^{n} - 2 ( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n} + ( - 1 ) ^{n}}

である。

北海道大学 2026年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2026年度
文系数学前期第2問