問題
関数
を考える。で表される曲線をとする。の接線のうち傾きが正で原点を通るものをとする。ただし，はの自然対数である。
(1) 直線の方程式を求めよ。
(2) 曲線は下に凸であることを証明せよ。
(3) とおよび軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
出典：北海道大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
原点を通る接線の接点を とおき，接線条件 を立てる。候補 が出るが，傾きが正という条件で を選ぶ。(2)は を直接示す。(3)は下に凸な曲線が接線の上側にあることを使い， から接点 までで を積分する。 は と置いて丁寧に計算する。
解答
(1)
接点の 座標を とする。まず である。接線の方程式は であり，これが原点を通るための条件は すなわち である。
これを代入すると である。両辺の が消えて となる。 であるから分母は正であり， すなわち である。よって候補は である。
のとき，接線の傾きは で負である。したがって条件に合わない。 のとき，傾きは で正である。よって求める直線 は である。
(2)
(1)で求めた をさらに微分すると， である。定義域は なので， である。したがって であり，曲線 は下に凸である。
(3)
(2)より，曲線 は任意の接線の上側にある。したがって， と接線 および 軸で囲まれた部分の面積は である。
まず を計算する。 とおくと， であり， のとき ， のとき である。よって
ここで
であるから，計算して を得る。
したがって面積 は
よって，求める面積は である。