北海道大学 2024年度
理系数学 前期 第1問

解答

(1)

点 $P$ と点 $Q$ が一致する条件は $\cos 2t=\sin t,\cos t=\sin 2t$ である。第2式は $\cos t=2\sin t\cos t$ すなわち $\cos t(1-2\sin t)=0$ である。

まず $\cos t=0$ のとき，$t=\frac{\pi }{2}+k\pi$ である。このうち $t=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ では $\cos 2t=\cos \pi =-1,\sin t=1$ となり第1式を満たさない。一方，$t=\frac{3\pi }{2}+2k\pi$ では $\cos 2t=\cos 3\pi =-1,\sin t=-1$ となり第1式も満たす。

次に $1-2\sin t=0$，すなわち $\sin t=\frac{1}{2}$ のとき，$t=\frac{\pi }{6}+2k\pi ,t=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ である。このとき，いずれも $\cos 2t=\frac{1}{2}=\sin t$ となり，第1式も満たす。

したがって，求める $t$ は

である。

(2)

$P=(x,y)$ とおく。定義より $y=\cos t,x=\cos 2t=2{\cos }^{2}t-1$ であるから，$x=2y^2-1$ を得る。

また，$0<t<2\pi$ で $y=\cos t$ が動く範囲は $-1\leqq y<1$ である。$y=-1$ は $t=\pi$ で実際にとるが，$y=1$ は $t=0,2\pi$ でしかとらないため，この範囲には含まれない。したがって軌跡は $x=2y^2-1(-1\leqq y<1)$ で表される放物線である。頂点は $(-1,0)$，点 $(1,-1)$ は含まれ，点 $(1,1)$ は含まれない。

$x$ 軸との共有点は $y=0$ として $x=-1$ より $(-1,0)$ である。$y$ 軸との共有点は $x=0$ として $2y^2-1=0$ より $\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\left(0,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ である。