問題
各面に1つずつ数が書かれた正八面体のさいころがある。「1」，「2」，「3」が書かれた面がそれぞれ1つずつあり，残りの5つの面には「0」が書かれている。このさいころを水平な床面に投げて，出た面に書かれた数を持ち点に加えるという試行を考える。最初の持ち点は0とし，この試行を繰り返す。例えば，3回の試行を行ったとき，出た面に書かれた数が「0」，「2」，「3」であれば，持ち点は5となる。なお，さいころが水平な床面にあるとき，さいころの上部の水平な面を出た面とよぶ。また，さいころを投げるとき，各面が出ることは同様に確からしいとする。
(1) この試行を回行ったとき，持ち点が2以下である確率を求めよ。ただし，は2以上の自然数とする。
(2) この試行を4回行って持ち点が10以上であったときに，さらにこの試行を2回行って持ち点が17以上である条件付き確率を求めよ。
方針
(1)は合計が0，1，2となる出方を，0の面が5通りある重み付きで数える。合計2では「2が1回」と「1が2回」の2種類があり，残りはすべて0でなければならない。(2)はまず4回後の持ち点が10，11，12となる場合を分けて数える。条件付き確率では，条件側の15通りに追加2回の 通りを掛けたものを分母にし，初期持ち点10，11，12ごとに17以上へ届く追加の出方を数える。
解答
(1)
回の持ち点が2以下になる場合を，合計が0，1，2の場合に分けて数える。各試行は8つの面が同様に確からしく，0の面は5つ，1，2，3の面はそれぞれ1つである。
合計が0になるには，すべて0が出ればよいので 通りである。
合計が1になるには，1が1回だけ出て，残りがすべて0であればよい。1の出る位置は 通りで，残りは0の面を選ぶので 通りである。
合計が2になる場合は2種類ある。1つは，2が1回だけ出て，残りがすべて0の場合で， 通りである。もう1つは，1が2回出て，残りがすべて0の場合で， 通りである。
したがって，持ち点が2以下である確率は である。
(2)
まず，4回行った後の持ち点が10以上となる場合を数える。4回の最大持ち点は12である。
持ち点12は の1通りである。持ち点11は，3が3回，2が1回出る場合で，2の位置により 通りである。持ち点10は， の並べ替え4通りと， の並べ替え 通りで，合わせて 通りである。よって条件「4回後の持ち点が10以上」を満たす場合は 通りである。
次に，この条件のもとでさらに2回行い，最終的に17以上となる場合を数える。4回後の持ち点が10のとき，追加2回の最大は6なので17以上には届かない。4回後の持ち点が11のときは追加で6が必要であり，これは の1通りである。4回後の持ち点が12のときは追加で5以上が必要であり， の3通りである。
したがって，条件付き確率の分子にあたる場合の数は 通りである。条件側の15通りそれぞれについて，追加2回の出方は 通りあるので，求める条件付き確率は である。