問題
複素数に関する次の2つの方程式を考える。ただし，をと共役な複素数とし，を虚数単位とする。
(1) ①，②それぞれの方程式について，その解全体が表す図形を複素数平面上に図示せよ。
(2) ①，②の共通解となる複素数をすべて求めよ。
(3) (2)で求めたすべての複素数の積をとおく。このとき，が負の実数となるための整数の必要十分条件を求めよ。
方針
とおき、 を原点中心半径2の円に、 を2点 、 から等距離の直線に直す。共通解は円と直線の交点として求める。最後に2つの共通解の積 を極形式にし、 が負の実数となる偏角条件を を法とする合同条件で表す。整数 は負の場合も含めて扱う。
解答
(1)
とおく。すると であるから、方程式 は を表す。これは複素数平面上で、原点を中心とする半径 の円である。
次に、 は、点 と点 からの距離が等しい点の集合である。式で整理すると であり、展開して を得る。したがって方程式 は、線分 の垂直二等分線である直線 を表す。
(2)
共通解は の交点である。直線から である。これを円の式に代入すると となり、 すなわち である。よって である。 のとき 、 のとき である。したがって共通解は である。
別解。共通解は極形式で求めてもよい。 より とおける。このとき の直線条件 は すなわち である。左辺は だから となる。したがって を得て、共通解は 、 である。これは座標で求めた結果と一致する。
(3)
(2) で求めたすべての複素数の積は である。絶対値は であり、偏角は ととれる。したがって
である。
整数 に対して
である。 は正の実数なので、 が負の実数となるための必要十分条件は である。これは すなわち と同値である。
よって求める条件は である。