問題
以下の問いに答えよ。
(1) 連立不等式の表す領域を平面上に図示せよ。ただし，自然対数の底がをみたすことを用いてよい。
(2) に対して，連立不等式の表す平面上の領域の面積をとする。を最小にするの値を求めよ。
方針
では なので、 は対数を取って に直せる。関数 の増減を調べ、 と から図示範囲を決める。(2) は が と の間にある条件なので、面積を と表し、水平線 を動かしたときの面積変化から最小の を決める。
解答
(1)
では であるから、 は について単調増加である。よって の対数を取ると となる。したがって である。 とおく。微分すると である。したがって は で減少し、 で増加する。ここで なので、 では で最小になる。
また である。 は より右で増加するので、 では となる。したがって となるのは である。
よって求める領域は である。図では、直線 と曲線 に挟まれた部分で、両端は 、曲線は で最も低くなる。
(2)
では である。したがって は、 が と の間にあることを表す。対数を取ると、これは が と の間にあることと同値である。よって面積は である。
(1) で調べたように、 となるのは であり、その長さは である。また では であり、その長さも である。 を少し増やすと、 である部分の縦の距離は増え、 である部分の縦の距離は減る。したがって が最小となるのは、 となる の長さと、 となる の長さが釣り合う位置である。 のとき、 の部分と の部分はどちらも長さ である。さらに、 では となる部分は の中の一部に限られるので長さは より短く、 は を増やすと小さくなる。 では となる部分の長さが より長くなり、 は を増やすと大きくなる。
したがって を最小にする値は である。