北海道大学 2022年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

8個の玉を円形に並べる総数は、Kが2個、Oが2個あることを考えて $\frac{(8-1)!}{2!2!}=\frac{7!}{2!2!}=1260$ 通りである。

時計回りに HOKKAIDO と並ぶ円形配置は、回転を同一視すれば1通りである。したがって求める確率は $\frac{1}{1260}$ である。

(2)

隣り合う子音が存在しない場合を数える。母音は A, I, O, O の4個であり、これらを円形に並べる方法は $\frac{(4-1)!}{2!}=3$ 通りである。

この4個の母音の間には4つのすき間がある。子音 D, H, K, K が隣り合わないためには、この4つのすき間に子音を1個ずつ入れるしかない。その入れ方は $\frac{4!}{2!}=12$ 通りである。よって、隣り合う子音が存在しない並べ方は $3\cdot 12=36$ 通りである。

したがって、隣り合う子音が存在しない確率は $\frac{36}{1260}=\frac{1}{35}$ であり、求める確率はその余事象なので $1-\frac{1}{35}=\frac{34}{35}$ である。

(3)

「隣り合う子音が存在するとき、それがKKだけである」とは、KとKは隣り合い、DとHはどの子音とも隣り合わない場合である。

KKを1つのブロックとみなす。まず母音 A, I, O, O を円形に並べる方法は、(2) と同じく $3$ 通りである。この母音4個の間の4つのすき間のうち、3つを選んで、KKブロック、D、Hを1つずつ入れればよい。その方法は ${}_4{\mathrm{C}}_3\cdot 3!=24$ 通りである。したがって、条件に合う並べ方は $3\cdot 24=72$ 通りである。

(2) より、隣り合う子音が存在する並べ方は $1260-36=1224$ 通りである。よって求める条件付き確率は $\frac{72}{1224}=\frac{1}{17}$ である。