問題
箱の中に1文字ずつ書かれたカードが10枚ある。そのうち5枚にはA，3枚にはB，2枚にはCと書かれている。箱から1枚ずつ，3回カードを取り出す試行を考える。
(1) カードを取り出すごとに箱に戻す場合，1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する確率を求めよ。
(2) 取り出したカードを箱に戻さない場合，1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する確率を求めよ。
(3) 取り出したカードを箱に戻さない場合，2回目に取り出したカードの文字がCであるとき，1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する条件つき確率を求めよ。
方針
(1) は復元抽出なので1回目と3回目が独立であり、文字ごとに確率の2乗を足す。(2) は非復元抽出なので、1回目の文字で場合分けし、3回目に同じ文字が出る条件付き確率を掛ける。2回目のカードは指定されていないが、非復元では「1回目を除いた残り9枚」から3回目が選ばれると見なしてよい。(3) は2回目がCである条件のもと、残り9枚の構成 から1回目と3回目を非復元で考える。
解答
(1)
カードを戻すので、1回目と3回目の文字は独立であり、各回の文字の確率は である。したがって、1回目と3回目の文字が一致する確率は
である。
(2)
カードを戻さない。1回目がAである確率は であり、その後、3回目がAである確率は、2回目の結果を特に指定しなければ、残り9枚のうちAが4枚あると見て である。同様に、1回目がB、Cの場合も考えると、求める確率は
である。
(3)
2回目にCが取り出されたことが分かっている。この条件のもとでは、1回目と3回目は、Aが5枚、Bが3枚、Cが1枚の合計9枚から、戻さずに2枚を順に取り出す状況と同じである。
したがって、1回目と3回目がともにAである確率は であり、ともにBである確率は である。Cは1枚しか残っていないので、1回目と3回目がともにCになることはない。よって条件付き確率は
である。