北海道大学 2022年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

${a_{n}}$ を $a_{1} = - 15$ および

a_{n + 1} = a_{n} + \frac{n}{5} - 2 (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

をみたす数列とする。

(1) $a_{n}$ が最小となる自然数 $n$ をすべて求めよ。

(2) ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

(3) $k = 1 \sum n a_{k}$ が最小となる自然数 $n$ をすべて求めよ。

出典：北海道大学 2022年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

(1) は階差 $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{n}{5} - 2$ の符号を調べ、減少から増加へ変わる位置を読む。(2) は階差の和を取って一般項を出す。(3) は部分和 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ の差が $S_{n + 1} - S_{n} = a_{n + 1}$ であることを使い、部分和が減少から増加へ変わる位置を $a_{n}$ の符号で判定する。

解答

(1)

漸化式より $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{n}{5} - 2 = \frac{n - 10}{5}$ である。したがって、 $n < 10$ では $a_{n + 1} < a_{n}$ 、 $n = 10$ では $a_{11} = a_{10}$ 、 $n > 10$ では $a_{n + 1} > a_{n}$ である。

よって数列 $a_{n}$ は $a_{10}$ まで減少し、 $a_{10} = a_{11}$ となった後、増加する。したがって $a_{n}$ が最小となる自然数 $n$ は $n = 10, 11$ である。

(2)

$n ≧ 2$ のとき $a_{n} = a_{1} + \sum_{j = 1}^{n - 1} (\frac{j}{5} - 2)$ である。したがって

a_{n} = - 15 + \frac{1}{5} \cdot \frac{( n - 1 ) n}{2} - 2 (n - 1) = - 15 + \frac{n ( n - 1 )}{10} - 2 n + 2 = \frac{n ^{2} - 21 n - 130}{10} = \frac{( n - 26 ) ( n + 5 )}{10}

である。 $n = 1$ のときも $\frac{( 1 - 26 ) ( 1 + 5 )}{10} = - 15$ となるので、一般項は $a_{n} = \frac{( n - 26 ) ( n + 5 )}{10}$ である。

(3)

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ とおく。部分和の増減は $S_{n + 1} - S_{n} = a_{n + 1}$ で決まる。(2) より $a_{n} = \frac{( n - 26 ) ( n + 5 )}{10}$ であり、自然数 $n$ について $n + 5 > 0$ だから、 $a_{n}$ の符号は $n - 26$ の符号で決まる。すなわち

a_{n} < 0 (1 ≦ n ≦ 25), a_{26} = 0, a_{n} > 0 (n ≧ 27)

である。

よって $S_{n + 1} - S_{n} = a_{n + 1}$ は、 $n + 1 ≦ 25$ 、すなわち $n ≦ 24$ で負、 $n = 25$ で0、 $n ≧ 26$ で正となる。したがって $S_{n}$ は $S_{25}$ まで減少し、 $S_{26} = S_{25}$ となった後、増加する。求める自然数 $n$ は $n = 25, 26$ である。

北海道大学 2022年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2022年度
文系数学前期第2問