北海道大学 2022年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

$∠ A = 90^{\circ}, ∠ B = 60^{\circ}$ である直角三角形 $A B C$ において，その内接円の中心を $O$ ，半径を $r$ とおく。また $a = B C$ とする。

(1) $r$ を $a$ で表せ。

(2) 次の条件をみたす負でない整数 $k, l, m, n$ の組を一つ求めよ。

O A : O B = 1 : k + l, O A : O C = 1 : m + n

出典：北海道大学 2022年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

$∠ A = 9 0^{\circ}$ 、 $∠ B = 6 0^{\circ}$ 、 $∠ C = 3 0^{\circ}$ なので、辺の比を $3 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 9 0^{\circ}$ の直角三角形として表す。(1) は直角三角形の内接円半径 $r = \frac{A B + A C - B C}{2}$ を使う。(2) は内心から各頂点までの距離が、半角でできる直角三角形から $r / sin \frac{A}{2}$ 、 $r / sin \frac{B}{2}$ 、 $r / sin \frac{C}{2}$ と表せることを使う。

解答

(1)

$B C = a$ は斜辺であり、 $∠ B = 6 0^{\circ}$ 、 $∠ C = 3 0^{\circ}$ である。したがって辺の比より $A B = \frac{a}{2}, A C = \frac{3}{2} a$ である。

直角三角形で、斜辺を $c$ 、他の2辺を $p, q$ とすると、内接円の半径は $r = \frac{p + q - c}{2}$ である。これは面積を $\frac{1}{2} pq$ と $\frac{1}{2} r (p + q + c)$ の2通りで表しても導ける。

よって本問では

r = \frac{A B + A C - B C}{2} = \frac{\frac{a}{2} + \frac{3}{2} a - a}{2} = \frac{3 - 1}{4} a

である。

(2)

内心 $O$ から辺 $A B$ 、 $A C$ へ下ろした垂線の長さはいずれも $r$ である。また、 $A O$ は $∠ A$ の二等分線であるから、直角三角形を見て $O A = \frac{r}{s i n 4 5 ^{\circ}} = 2 r$ である。同様に $O B = \frac{r}{s i n 3 0 ^{\circ}} = 2 r$ である。したがって $\frac{O B}{O A} = \frac{2 r}{2 r} = 2$ となり、 $O A : O B = 1 : 2$ である。よって $k = 0$ 、 $l = 2$ とできる。

また $∠ C = 3 0^{\circ}$ なので $O C = \frac{r}{s i n 1 5 ^{\circ}}$ である。したがって $\frac{O C}{O A} = \frac{1}{2 s i n 1 5 ^{\circ}}$ である。ここで $sin 1 5^{\circ} = sin (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}) = \frac{6 - 2}{4}$ だから $2 sin 1 5^{\circ} = \frac{3 - 1}{2}$ である。よって $\frac{O C}{O A} = \frac{2}{3 - 1} = 3 + 1$ となる。したがって $O A : O C = 1 : 1 + 3$ であり、 $m = 1$ 、 $n = 3$ とできる。

以上より、条件を満たす組の一つは $(k, l, m, n) = (0, 2, 1, 3)$ である。

北海道大学 2022年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2022年度
文系数学前期第3問