問題
次の問に答えよ。
(1) 整数に対して，を4で割った余りは0または1であることを示せ。
(2) 自然数，が
を満たすとき，は偶数であることを示せ。
(3) (2)の関係式(＊)を満たす自然数の組をすべて求めよ。
方針
(1) は偶奇で分けて平方数の での余りを確認する。(2) は式を で見て， が奇数だと左辺が 余り，平方数の余り と矛盾することを使う。(3) は とおき，左辺を平方にして平方差の形に因数分解する。2つの因数は正の偶数で，積が ，和が になるので，可能な因数対をすべて調べる。
解答
(1)
整数 は偶数または奇数である。 が偶数なら と書けるので となり， は で割って 余る。 が奇数なら と書けるので となり， は で割って 余る。したがって整数 に対して， を で割った余りは または である。
(2)
関係式 を で割った余りで考える。， であるから である。
もし が奇数なら， より である。しかし (1) より平方数 は で割って または しか余らない。これは矛盾である。したがって は偶数である。
(3)
(2) より は偶数であるから， とおける。ただし は自然数なので は自然数である。このとき である。よって (＊) は すなわち となる。 は自然数なので，両因数は正である。また2つの因数の和は で偶数である。積 も偶数なので，2つの因数はともに偶数でなければならない。
正の偶数の因数対 として可能なのは である。それぞれの和は であり，これが に等しくなければならない。したがって だけが可能である。 のとき， より ，したがって である。また より である。よって を得る。 のとき， より ，したがって である。また より である。よって を得る。
以上より，求める自然数の組は である。