問題
袋の中に番号1のカードが1枚，番号2のカードが2枚，番号3のカードが3枚，番号4のカードが4枚，合計10枚入っている。この袋の中からカードを1枚ずつ引いていく。ただし，一度引いたカードは袋の中には戻さないものとする。枚目で初めて4つすべての番号のカードが現れる事象を，初めて4つすべての番号のカードが現れたときに引いたカードが番号である事象をとする。
(1) の起こる確率を求めよ。
(2) の起こる確率を求めよ。
(3) が起こったときのが起こる条件付き確率を求めよ。
方針
「初めて4種類がそろう」とは，その直前までちょうど1種類の番号が1枚も出ていないということである。終盤の問題なので，不足している番号の全カードが残りの位置に入る必要がある。(1) では10枚目まで不足し続けられるのは1枚しかない番号1だけである。(2) は9枚目に番号1が初めて出る場合を数える。(3) では を，9枚目で初めて出る番号が1の場合と2の場合に分け，条件付き確率を計算する。
解答
(1)
が起こるとは，9枚目までに4種類すべては現れず，10枚目で初めて4種類がそろうということである。10枚目まで現れない番号があるなら，その番号のカードはすべて10枚目以降に残っていなければならない。しかし10枚目以降の位置は10枚目の1か所だけなので，そのような番号はカードが1枚しかない番号1に限られる。
したがって は「番号1のカードが10枚目に引かれる」ことと同値である。番号1のカードの位置は10か所のうち等確率なので である。
(2)
は，9枚目で初めて4種類がそろい，その9枚目のカードが番号1である事象である。番号1のカードは1枚だけなので，これは番号1のカードが9枚目にあることと同値である。
実際，番号1が9枚目にあるとき，最初の8枚は番号2,3,4のカードから8枚引かれている。番号2,3,4のカードは合計9枚あり，その内訳は2枚，3枚，4枚であるから，そこから1枚だけ残して8枚を引けば，番号2,3,4はすべて少なくとも1枚ずつ現れている。したがって9枚目の番号1で初めて4種類がそろう。
よって である。
(3)
まず が起こる場合を分類する。8枚目までに現れていない番号のカードは，9枚目と10枚目の位置にすべて残っていなければならない。したがって，その番号のカード枚数は高々2枚である。可能なのは番号1または番号2だけである。
番号1が9枚目で初めて現れる場合の確率は，(2) より である。番号2が9枚目で初めて現れる場合は，番号2の2枚のカードが9枚目と10枚目に入っている場合である。番号2のカードが入る2つの位置は 通りが等確率なので，その確率は である。このとき最初の8枚には番号1,3,4がすべて現れているので，確かに9枚目で初めて4種類がそろう。
したがって である。求める条件付き確率は
である。