北海道大学 2021年度
後期・理系数学 後期 第1問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 微分、積分、関数
- 解法
- 増減表、接線・法線、面積計算
- 難易度
- 6 / 10 計算量 6 / 10 目安 12分
問題
f(x)=x4+6x3−24x2とし，曲線C:y=f(x)を考える。
(1) Cの変曲点をすべて求めよ。
(2) Cの変曲点のうちx座標の値が最大のものをPとする。PにおけるCの接線lの方程式を求めよ。
(3) Cと(2)の接線lで囲まれた部分の面積を求めよ。
出典：北海道大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
変曲点は f′′(x)=0 かつ符号が変わる点として求める。最大の x 座標をもつ変曲点 P が決まったら，f′(1) から接線を出す。面積では，曲線と接線の交点を調べるために f(x)−l(x) を因数分解する。接点 x=1 は重なって現れるので，もう一つの交点 x=−9 を見つけ，区間内の上下関係を確認して積分する。
解答
(1)
f(x)=x4+6x3−24x2 より f′(x)=4x3+18x2−48x であり，f′′(x)=12x2+36x−48=12(x+4)(x−1) である。x=−4,1 の前後で f′′(x) の符号は変わるので，どちらも変曲点を与える。
それぞれの y 座標は f(−4)=(−4)4+6(−4)3−24(−4)2=−512 および f(1)=1+6−24=−17 である。したがって変曲点は (−4,−512),(1,−17) である。
(2)
(1) の変曲点のうち x 座標が最大のものは P=(1,−17) である。接線の傾きは f′(1)=4+18−48=−26 であるから，接線 l は y+17=−26(x−1) すなわち y=−26x+9 である。
(3)
接線を l(x)=−26x+9 とおく。曲線と接線の差は
f(x)−l(x)=x4+6x3−24x2+26x−9=(x−1)3(x+9)
である。したがって交点の x 座標は x=−9,1 である。−9<x<1 では (x−1)3<0，x+9>0 だから f(x)−l(x)<0 であり，接線が曲線より上にある。
よって求める面積 S は S=∫−91{l(x)−f(x)}dx=−∫−91(x−1)3(x+9)dx である。u=x−1 とおくと，x=−9 で u=−10，x=1 で u=0，また x+9=u+10 であるから
S=−∫−100u3(u+10)du=−∫−100(u4+10u3)du=[−5u5−25u4]−100=5000.
したがって面積は 5000 である。
