北海道大学 2021年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$θ$ を $0 < θ < \frac{π}{2}$ を満たす実数とし，平面上の点 $P$ と点 $Q$ を

P (\frac{1}{2} {1 - cos θ - 3 (tan θ - sin θ)}, \frac{1}{2} {3 (1 - cos θ) + tan θ - sin θ})

Q (\frac{1}{2} {1 + cos θ - 3 (tan θ + sin θ)}, \frac{1}{2} {3 (1 + cos θ) + tan θ + sin θ})

で定める。 $M$ を線分 $P Q$ の中点とし， $O$ を原点 $(0, 0)$ とする。

(1) $P Q$ と $O M$ を求めよ。

(2) 3点 $O$ ， $P$ ， $Q$ は同一直線上にあることを示せ。

(3) $∣ O P ∣ = ∣ P M ∣$ となるような $θ$ の値を求めよ。

出典：北海道大学 2021年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

複雑な座標に見えるが， $Q - P$ と中点 $M$ を計算すると，どちらも $(1 - 3 tan θ, 3 + tan θ)$ の向きに整理できる。 $O M$ が $P Q$ と平行であることから，直線 $P Q$ が原点を通ると分かる。最後は同一直線上で $M$ が $P Q$ の中点であることを使い， $∣ O P ∣$ と $∣ P M ∣$ を $∣ P Q ∣$ の倍数で表して $cos θ$ を決める。

解答

(1)

座標を差し引くと

P Q = (cos θ - 3 sin θ, 3 cos θ + sin θ) = cos θ (1 - 3 tan θ, 3 + tan θ)

である。

また $M$ は $P, Q$ の中点であるから，座標を足して2で割ると

O M = (\frac{1 - 3 tan θ}{2}, \frac{3 + tan θ}{2})

である。

(2)

(1) より

P Q = cos θ (1 - 3 tan θ, 3 + tan θ)

であり，

O M = \frac{1}{2} (1 - 3 tan θ, 3 + tan θ)

である。したがって $O M = \frac{1}{2 c o s θ} P Q$ である。 $0 < θ < \frac{π}{2}$ より $cos θ > 0$ なので，これは $O M$ と $P Q$ が平行であることを示している。

点 $M$ は直線 $P Q$ 上にあり， $O M$ は直線 $P Q$ と平行である。よって原点 $O$ も直線 $P Q$ 上にある。したがって3点 $O, P, Q$ は同一直線上にある。

(3)

$O M = \frac{1}{2 c o s θ} P Q$ であり， $M$ は $P Q$ の中点である。 $P Q$ と同じ向きの単位を使って直線上の位置を表すと，

M = \frac{1}{2 cos θ} P Q, P = M - \frac{1}{2} P Q

である。したがって

∣ O P ∣ = (\frac{1}{2 cos θ} - \frac{1}{2}) ∣ P Q ∣

である。また $∣ P M ∣ = \frac{1}{2} ∣ P Q ∣$ である。

条件 $∣ O P ∣ = ∣ P M ∣$ より $\frac{1}{2 c o s θ} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ である。したがって $\frac{1}{2 c o s θ} = 1, cos θ = \frac{1}{2}$ となる。 $0 < θ < \frac{π}{2}$ だから $θ = \frac{π}{3}$ である。

北海道大学 2021年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2021年度
後期・理系数学後期第2問