北海道大学 2021年度
文系数学 前期 第4問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 積分、関数
- 解法
- 面積計算、定積分評価、微分による最大最小
- 難易度
- 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 11分
問題
kをk>−1を満たす実数とする。直線l:y=(1−k)x+kおよび放物線C:y=x2を考える。Cとlで囲まれた部分の面積をS1とし，Cとlと直線x=2の3つで囲まれた部分の面積をS2とする。
(1) S1をkを用いて表せ。
(2) S2をkを用いて表せ。
(3) kがk>−1を満たしながら動くとき，S2−S1の最大値を求めよ。
出典：北海道大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
まず放物線と直線の交点を求め，k>−1 から交点の順序が −k<1 であることを確認する。S1 はこの2交点間で直線が上，放物線が下になる面積であり，S2 は 1≦x≦2 で放物線が上，直線が下になる面積である。差 S2−S1 は因数分解して k の関数として最大化する。微分で増減を見る方法に加え，因数分解後の不等式でも最大値を確認できる。
解答
(1)
放物線 C:y=x2 と直線 l:y=(1−k)x+k の交点は x2=(1−k)x+k より x2−(1−k)x−k=0,(x−1)(x+k)=0 である。したがって交点の x 座標は −k,1 である。k>−1 より −k<1 である。 −k<x<1 では (1−k)x+k−x2=−(x−1)(x+k)>0 なので，直線が放物線より上にある。よって
S1=∫−k1{(1−k)x+k−x2}dx=∫−k1(1−x)(x+k)dx.
ここで u=x+k とおくと，x=−k で u=0，x=1 で u=k+1 であり，(1−x)(x+k)={(k+1)−u}u だから S1=∫0k+1{(k+1)u−u2}du=6(k+1)3 である。
(2)
1<x≦2 では (x−1)(x+k)>0 であり，x2−{(1−k)x+k}=(x−1)(x+k)>0 だから，放物線が直線より上にある。したがって
S2=∫12{x2−((1−k)x+k)}dx=∫12{x2−x+kx−k}dx=[3x3−2x2+2kx2−kx]12=65+2k=63k+5.
(3)
(1)(2) より
S2−S1=63k+5−(k+1)3=6−k3−3k2+4=−6(k−1)(k+2)2.
これを D(k) とおくと，D′(k)=−21k(k+2) である。k>−1 において，−1<k<0 では D′(k)>0，k>0 では D′(k)<0 である。したがって D(k) は k=0 で最大となる。最大値は D(0)=32 である。
別解。
最大化は微分を使わずに確認することもできる。t=k+2 とおくと t>1 であり，S2−S1=63t2−t3 である。求めたい不等式 63t2−t3≦32 は t3−3t2+4≧0 と同値である。左辺は t3−3t2+4=(t−2)2(t+1) と因数分解でき，t>1 では常に (t−2)2(t+1)≧0 である。等号は t=2，すなわち k=0 のとき成り立つ。よって最大値は同じく 32 である。
