北海道大学 2021年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

実数 $x$ に対して，

f (x) = 3 sin (x + \frac{π}{6}) + 2 sin^{2} (x + \frac{2 π}{3}) + 4 cos (2 x + \frac{π}{3})

とおく。

(1) $t = sin (x + \frac{π}{6})$ とおく。 $sin^{2} (x + \frac{2 π}{3})$ と $cos (2 x + \frac{π}{3})$ をそれぞれ $t$ の式で表せ。

(2) $0 ≦ x ≦ π$ のとき，方程式 $f (x) = 0$ の解をすべて求めよ。

出典：北海道大学 2021年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

指定された $t = sin (x + π /6)$ にすべてを統一する。 $x + 2 π /3 = (x + π /6) + π /2$ ， $2 x + π /3 = 2 (x + π /6)$ に気づけば， $1 - t^{2}$ と $1 - 2 t^{2}$ が出る。方程式 $f (x) = 0$ は $t$ の二次方程式になるが，最後に $0 ≦ x ≦ π$ から $x + π /6$ の範囲を確認し，二次方程式の根が実際に $sin$ の値として取れるかを判定する。

解答

(1)

$t = sin (x + \frac{π}{6})$ とおく。まず $x + \frac{2 π}{3} = x + \frac{π}{6} + \frac{π}{2}$ であるから， $sin (x + \frac{2 π}{3}) = cos (x + \frac{π}{6})$ である。したがって

sin^{2} (x + \frac{2 π}{3}) = cos^{2} (x + \frac{π}{6}) = 1 - t^{2}

である。

また $2 x + \frac{π}{3} = 2 (x + \frac{π}{6})$ なので，倍角の公式より

cos (2 x + \frac{π}{3}) = cos (2 (x + \frac{π}{6})) = 1 - 2 sin^{2} (x + \frac{π}{6}) = 1 - 2 t^{2}

である。

(2)

(1) の結果を $f (x)$ に代入すると

f (x) = 3 t + 2 (1 - t^{2}) + 4 (1 - 2 t^{2}) = 3 t + 6 - 10 t^{2}

である。したがって $f (x) = 0$ は $10 t^{2} - 3 t - 6 = 0$ となる。これを解くと $(2 t - 3) (5 t + 23) = 0$ より $t = \frac{3}{2}, t = - \frac{2 3}{5}$ である。

ここで $0 ≦ x ≦ π$ だから $\frac{π}{6} ≦ x + \frac{π}{6} ≦ \frac{7 π}{6}$ である。この範囲で $sin$ が負になるのは $π < x + \frac{π}{6} ≦ \frac{7 π}{6}$ の部分であり，その値は $- \frac{1}{2} ≦ sin (x + \frac{π}{6}) < 0$ である。一方 $- \frac{2 3}{5} < - \frac{1}{2}$ なので， $t = - \frac{2 3}{5}$ はこの範囲では実現しない。

よって $sin (x + \frac{π}{6}) = \frac{3}{2}$ だけを考えればよい。 $\frac{π}{6} ≦ x + \frac{π}{6} ≦ \frac{7 π}{6}$ において，これは $x + \frac{π}{6} = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$ を与える。したがって $x = \frac{π}{6}, \frac{π}{2}$ である。

北海道大学 2021年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2021年度
文系数学前期第3問