北海道大学 2021年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が

S_{n} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 7) (n = 1, 2, 3, \dots)

で表される数列 ${a_{n}}$ がある。

(1) ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

(2) $k = 1 \sum n \frac{1}{a _{k}}$ を求めよ。

出典：北海道大学 2021年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

方針

部分和 $S_{n}$ から一般項を出すので，まず $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ を計算し， $n = 1$ も同じ式で合うことを確認する。逆数和では， $a_{k} = k (k + 2)$ となるため，隣同士ではなく2つ離れた項が消える部分分数分解を使う。最後に残る端の項 $1, 1/2, 1/ (n + 1), 1/ (n + 2)$ を整理して答える。

解答

(1)

$S_{0} = 0$ とおく。 $n ≧ 2$ では $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ であるから，

a_{n} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 7) - \frac{1}{6} (n - 1) n {2 (n - 1) + 7} = \frac{n}{6} {(n + 1) (2 n + 7) - (n - 1) (2 n + 5)} = \frac{n}{6} {(2 n^{2} + 9 n + 7) - (2 n^{2} + 3 n - 5)} = n (n + 2)

である。また $a_{1} = S_{1} = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 9 = 3$ であり， $1 (1 + 2) = 3$ と一致する。したがって $a_{n} = n (n + 2)$ である。

(2)

(1) より $\frac{1}{a _{k}} = \frac{1}{k ( k + 2 )}$ である。部分分数分解すると $\frac{1}{k ( k + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})$ であるから，

k = 1 \sum n \frac{1}{a _{k}} = \frac{1}{2} k = 1 \sum n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2}) = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2 ( n + 1 )} - \frac{1}{2 ( n + 2 )} .

1つの分数にまとめれば $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a _{k}} = \frac{n ( 3 n + 5 )}{4 ( n + 1 ) ( n + 2 )}$ である。

北海道大学 2021年度文系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2021年度
文系数学前期第1問