問題
三角形において，辺をに内分する点を，直線に関して点と対称な点を，点から直線に下ろした垂線と直線との交点をとする。，とし，，を満たすとする。
(1) をを用いて表せ。
(2) を，を用いて表せ。
(3) となるとき，の値を求めよ。
出典：北海道大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
は の直線 への射影なので， は 方向の成分として求める。 は を直線 に関して反転した点であるから，まず の直線 への射影点を求め，その点を中点として を表す。最後は と の長さを内積で計算し，未知量 だけの方程式にする。
解答
(1)
は点 から直線 に下ろした垂線の足である。したがって は の 方向への射影であり，
である。
(2)
は辺 を に内分するから， である。 から直線 に下ろした垂線の足を とすると， は の 方向への射影である。よって
である。ここで
だから
となる。
点 は と直線 に関して対称なので， は線分 の中点である。したがって
(3)
(1) より である。また (2) より
条件 から である。よって となり， を得る。したがって である。