北海道大学 2018年度
文系数学 前期 第4問

解答

(1)

共有点の $x$ 座標は $x^3+p{x}^2+x=x^2$ を満たす。整理すると $x\{x^2+(p-1)x+1\}=0$ である。$x=0$ は範囲 $x>0$ に含まれないので、$x>0$ の共有点が2個あるためには、2次方程式 $x^2+(p-1)x+1=0$ が異なる2つの正の解をもてばよい。

この2次方程式の2解の積は1である。したがって2解が実数なら、2解は同符号である。さらに2解が正であるためには、2解の和 $1-p$ が正である必要がある。また、異なる実数解をもつためには判別式より $(p-1{)}^2-4>0$ が必要である。 $1-p>0$ と $(p-1{)}^2>4$ を合わせると $1-p>2$ となる。よって $\boxed{p<-1}$ である。

(2)

2つの正の解を $0<\alpha <\beta$ とする。このとき、解と係数の関係より $\alpha \beta =1,\alpha +\beta =1-p$ である。また $C_1-C_2=x^3+p{x}^2+x-x^2=x\{x^2+(p-1)x+1\}=x(x-\alpha )(x-\beta )$ である。 $0<x<\alpha$ では $x(x-\alpha )(x-\beta )>0$ なので $C_1$ が $C_2$ より上にある。$\alpha <x<\beta$ では $x(x-\alpha )(x-\beta )<0$ なので $C_2$ が $C_1$ より上にある。したがって条件 $S_1=S_2$ は

と同値である。これは ${\int }_0^{\beta }x(x-\alpha )(x-\beta )dx=0$ と書ける。 $\alpha \beta =1$ より $\alpha =1/\beta$ である。そこで積分を計算すると

である。$\beta >0$ なので ${\beta }^2=2$ となり、$\beta =\sqrt{2},\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。

よって $1-p=\alpha +\beta =\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ であり、$\boxed{p=1-\frac{3\sqrt{2}}{2}}$ である。このとき $S_1={\int }_0^{1/\sqrt{2}}x\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)(x-\sqrt{2})dx$ である。上と同じ展開を用いて

である。

別解。面積条件だけなら、$\beta =1/\alpha$ を使って $x=\alpha u$ と置く方法もある。第1区間の面積は $0\leqq u\leqq 1$、第2区間は $1\leqq u\leqq 1/{\alpha }^2$ の積分になり、結局 $1/{\alpha }^2=2$、すなわち ${\beta }^2=2$ が得られる。積分区間を無次元化できるので、$\alpha \beta =1$ の使いどころが見えやすい。