問題
とは実数とし，関数のにおける最小値をとする。
(1) をとで表せ。
(2) を満たすとでを最大にするものを求めよ。また，このときのの値を求めよ。
出典：北海道大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
(1)は放物線 の軸 が区間 の左、内部、右のどこにあるかで場合分けする。(2)では、どの場合でも最小値 は に対して係数1で増加するので、制約 のもとで最大を考えるときは等号 としてよい。そこで を(1)の各場合に代入し、3つの範囲で最大値を比較する。
解答
(1)
の軸は である。区間 上の最小値は、この軸の位置によって決まる。 のとき、軸は にあるので、区間 では は右へ進むほど増加する。したがって最小値は で である。 のとき、軸 は区間 内にある。したがって最小値は頂点でとり、 である。 のとき、軸は にあるので、区間 では は右へ進むほど減少する。したがって最小値は で である。以上より
である。
(2)
(1)のどの式でも、 は に対して係数1で増加する。したがって を最大にするには、制約 の等号が成り立てばよい。よって とおく。 のとき、 であり、最大でも1である。 のとき、 である。平方完成すると であるから、この範囲では のとき最大値 をとる。このとき である。 のとき、 であり、最大でも1である。
したがって全体で最大になるのは であり、そのときの最大値は である。