問題
とする。において，，とし，点をの外心とする。
(1) の大きさを求めよ。
(2) 直線と直線が垂直に交わるときのの値を求めよ。
出典：北海道大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
(1)は余弦定理を に対して使う。与えられた3辺のうち、 が の対辺であることを確認し、 により分母が正であることも明記する。(2)は外心が辺 の垂直二等分線上にあることを使う。 なら、点 もその垂直二等分線上にあるので となり、 が一意に決まる。
解答
(1)
は辺 の対角である。余弦定理より であるから である。与えられた長さを代入すると
である。ここで なので である。三角形の角は から の間にあるため である。
(2)
外心 は、辺 の垂直二等分線上にある。したがって を通り に垂直な直線は、辺 の垂直二等分線である。
いま直線 と直線 が垂直に交わるとする。このとき と を通る直線 は に垂直であり、しかも を通るので、 は辺 の垂直二等分線そのものである。よって点 は辺 の垂直二等分線上にあり、 が成り立つ。
したがって である。 よりこの解は条件を満たし、 である。
逆に なら であるから、 は辺 の垂直二等分線上にある。外心 も同じ垂直二等分線上にあるので、 が成り立つ。よってこの値は十分条件も満たす。