問題
赤色，青色，黄色のサイコロが1つずつある。この3つのサイコロを同時に投げる。赤色，青色，黄色のサイコロの出た目の数をそれぞれ，，とし，自然数，，を，，で定める。
(1) ，，のうち少なくとも2つが500以上となる確率を求めよ。
(2) となる確率を求めよ。
出典：北海道大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
(1)は3桁数の百の位だけを見ればよい。、、 はそれぞれ 、、 と同値なので、3個の独立な事象のうち少なくとも2個が起こる確率を数える。(2)は3桁数の大小比較を出目の条件へ翻訳する。 と を百の位から順に比較すると、条件は にまとまるので、その整数組を数える。
解答
(1)
であり、 は1から6までの整数である。したがって となることは、百の位である が5以上であることと同値である。同様に
である。
各サイコロについて、出た目が5以上である確率は である。したがって、3つのうちちょうど2つが500以上となる確率は であり、3つすべてが500以上となる確率は である。よって求める確率は
である。
(2)
まず を考える。 という3桁数の比較である。百の位を比べると、 なら 、 なら である。 のときだけ十の位を比べればよく、この場合は のとき である。
同様に は、3桁数 と の比較であり、 なら成り立つ。 の場合は十の位で が必要だが、これは後で得る条件とは両立しない。
以上を合わせると、 が成り立つ条件は である。実際、 なら百の位の比較だけで であり、 なら は十の位で決まり、 は百の位で決まる。
したがって、 を固定すると は の 通り、 は の 通りである。よって条件を満たす組の数は である。全事象は 通りだから、求める確率は である。