問題
座標平面上の3点，，を頂点とするの内部および境界をとおく。実数に対して，条件
を満たす座標平面上の点の全体をとする。ただし，は点と点の距離を表す。
(1) が少なくとも1つの点を含むようなの値の範囲を求めよ。
(2) がを含むようなの値の範囲を求めよ。
(3) (1)のもとで，がに含まれるようなの値の範囲を求めよ。
出典：北海道大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
二乗和は重心 を中心に 定数と書ける。これにより は中心 の円板になる。(1) は半径が実数になる条件、(2) は三角形全体を含むために最も遠い頂点まで届く条件、(3) は円板が三角形内に収まるために中心から各辺までの最小距離以下である条件を調べる。
解答
三角形 の重心を とすると である。任意の点 について、重心の性質より である。実際、 を用いて展開すれば交差項が消える。
ここで であるから となる。したがって は で表される、中心 の円板である。
(1)
が少なくとも1点を含むためには、右辺が0以上であればよい。よって すなわち である。
(2)
は円板で凸であり、三角形 も3頂点の凸包である。したがって が 全体を含むためには、3頂点 が に含まれれば十分かつ必要である。 からの距離の2乗は なので、必要十分条件は である。よって である。
(3)
が に含まれるには、中心 から三角形の各辺までの距離の最小値以下に、円板の半径を抑えればよい。各辺の方程式は である。点 からこれらの直線までの距離は順に
である。最小値は である。
したがって が必要十分であり、 となる。(1) の条件 と合わせて である。