問題
さいころを続けて投げて，数直線上の点を移動させるゲームを行う。初め点は原点0にいる。さいころを投げるたびに，出た目の数だけ，点を現在の位置から正の向きに移動させる。この試行を続けて行い，点が10に達するか越えた時点でゲームを終了する。回目の試行でゲームが終了する確率をとする。
(1) となることを示せ。
(2) の値を求めよ。
(3) の値を求めよ。
方針
終了するには、直前までの合計が10未満で、最後の目を加えると10以上になればよい。(1)(2) は回数が多く、直前までの和が最小値付近に限られることを使って数える。(3) は2回目までの和 ごとに、3回目に必要な目の個数を掛けて数える。「10に達するか越える」であり、ちょうど10ではない点に注意する。
解答
(1)
10回目に初めて終了するには、9回目までの合計が10未満でなければならない。9回の出目の合計の最小値は である。したがって9回目までの合計が10未満であるためには、9回すべてで1が出るしかない。この場合、10回目はどの目が出ても合計が10以上になって終了する。よって である。
(2)
9回目に終了するには、8回目までの合計が10未満で、9回目の出目を加えると10以上になればよい。8回の出目の合計の最小値は8なので、8回目までの合計は または の場合だけを考えればよい。
合計が となるのは8回すべて1が出る1通りである。この場合、9回目の出目は の5通りで終了する。合計が となるのは、8回のうち1回だけ2が出て残りが1である場合で、8通りである。この場合、9回目の出目は何でもよいので6通りである。したがって有利な出方は 通りであり、全体は 通りだから である。
(3)
2回目までの合計を 、3回目の出目を とする。3回目に初めて終了するには である。2個のさいころの和が となる出方の数は、 に対して である。 では3回目に6が出ても10に届かないので寄与しない。
また、3回目の出目の選び方は、 に対してそれぞれ 通りである。よって有利な出方は 通りである。全体は 通りだから である。