問題
関数について，以下の問いに答えよ。
(1) のにおける増減を調べ，最大値と最小値を求めよ。
(2) の不定積分を求めよ。
(3) 次の定積分の値を求めよ。
出典：北海道大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
導関数 から、 で増加、 で減少と分かる。絶対値積分では、単調性と により零点が1つだけであることを確認し、そこで正負を分ける。不定積分 を用いて面積を計算する。
解答
(1)
であるから、 である。 では かつ なので 、 では なので である。したがって は で増加し、 で減少する。
端点と山の値は である。よって最大値は 最小値は である。
(2)
部分積分を用いると である。したがって
より である。
(3)
(1) より では である。また では単調減少し、 である。したがって は 、 は で成り立つ。 とおくと、(2) より である。値を計算すると
である。よって
である。