北海道大学 2017年度
理系数学 前期 第3問

解答

(1)

点 $P(z)$ は三角形 $OAB$ の外心なので $|z|=|z-\alpha |=|z-\beta |$ である。また仮定より $z=\alpha \beta$ である。$B$ は原点 $O$ と異なるので $\beta \ne 0$ である。そこで $|z|=|z-\beta |$ に $z=\alpha \beta$ を代入すると $|\alpha \beta |=|\alpha \beta -\beta |=|\beta ||\alpha -1|$ となる。$|\beta |\ne 0$ で割って $|\alpha |=|\alpha -1|$ を得る。

これは点 $A(\alpha )$ が複素数平面上の2点 $0,1$ から等距離にあることを表す。したがって $A$ は線分 $[0,1]$ の垂直二等分線上にあり、$\mathrm{Re}\alpha =\frac{1}{2}$ を満たす。すなわち $\alpha =\frac{1}{2}+ui$ である。ただし $u$ は実数である。点 $A$ の軌跡は、実部が $1/2$ である直線である。

(2)

同様に $|z|=|z-\alpha |$ に $z=\alpha \beta$ を代入すると $|\beta |=|\beta -1|$ である。よって $\alpha =\frac{1}{2}+ui,\beta =\frac{1}{2}+vi$ とおける。三角形 $OAB$ が退化しないためには $A\ne B$ であり、この表示では $u\ne v$ である。

このとき

である。$z=X+Yi$ と書くと $Y=\frac{u+v}{2},X=\frac{1}{4}-uv$ である。和 $u+v=2Y$ を固定すると、2つの実数 $u,v$ について $uv\leqq {\left(\frac{u+v}{2}\right)}^2=Y^2$ であり、等号は $u=v$ のときに限る。ここでは $u\ne v$ なので $uv<Y^2$ である。したがって $X=\frac{1}{4}-uv>\frac{1}{4}-Y^2$ を得る。

逆に、$X>1/4-Y^2$ を満たす点 $X+Yi$ に対しては、和 $2Y$、積 $1/4-X$ をもつ相異なる2実数 $u,v$ を選べる。よって点 $P(z)$ の存在範囲は $X>\frac{1}{4}-Y^2$ で表される領域である。境界の放物線 $X=1/4-Y^2$ は含まない。

別解。外心 $P(z)$ を中心とし原点を通る円は、任意の点 $w$ について $|w-z|=|z|$ すなわち $|w{|}^2=2\mathrm{Re}(w\overline{z})$ で表される。ここに $w=\alpha$、$z=\alpha \beta$ を代入すると

であり、$\alpha \ne 0$ より $\mathrm{Re}\beta =1/2$ を得る。同様に $w=\beta$ から $\mathrm{Re}\alpha =1/2$ が出る。以後は主解と同じく $\alpha =1/2+ui$、$\beta =1/2+vi$ と置いて範囲を求めればよい。