問題
，を実数とし，放物線をとおく。また，直線をとおく。とは共有点を持たないか，あるいは1点で接しているとする。
(1) ，の満たす条件を求めよ。
(2) 上の点のうちまでの距離が最小となるものをとおく。また，上の点におけるの接線は，点においてと垂直に交わっているとする。このとき，3点，，の座標を，を用いて表せ。
(3) ，がさらに条件
を満たすとき，(2)で求めた3点を頂点とするの面積の最大値と最小値を求めよ。
方針
(1) は放物線と直線の交点方程式を で二次方程式にし、判別式 を条件にする。(2) は直線までの符号付き距離の分子が常に0以下であることを使い、その最大点が距離最小点 になる。点 は接線の傾きが になる条件から求め、直線 との交点を とする。(3) は と高さから面積を に直し、領域条件で を最大最小化する。
解答
(1)
放物線 と直線 の交点は の解である。 とおくと なので すなわち である。共有点を持たないか、1点で接する条件は、この二次方程式の判別式が0以下であることだから である。よって を得る。
(2)
放物線上の点を とする。直線 は であるから、この点から までの距離は である。 とおくと、絶対値の中身は である。(1) の条件のもとでは、この二次式の最大値は なので、常に0以下である。したがって距離を最小にするには、この二次式を最大にすればよい。最大となるのは のときであるから である。
次に、放物線 の点 における接線の傾きは である。この接線が と垂直に交わるには、 の傾きが1であることから、接線の傾きが であればよい。よって となり、 である。
この点での接線は である。これと を連立すると より である。したがって である。
(3)
点 と は同じ高さ にあり、 座標の差は1である。したがって である。点 から直線 までの高さは
である。よって面積 は
である。
条件は である。 とおくと である。したがって の最小値は であり、このとき である。
一方、 の最大値は の最大値である。2つの上限が等しいとき より で、このとき である。よって である。