問題
3辺の長さが5，6，7の三角形をとする。
(1) の面積を求めよ。
(2) を底面とする高さ4の直三角柱の内部に含まれる球の半径の最大値を求めよ。ただし，直三角柱とは，すべての側面が底面と垂直であるような三角柱である。
出典：北海道大学 2017年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
(1) はヘロンの公式で底面三角形の面積を出す。(2) は三角柱内の球の中心を底面に射影すると、射影点から三角形の各辺までの距離が球の半径以上必要になるため、半径は底面三角形の内接円半径を超えられない。また高さ4なので上下の面から半径は高々2である。この2つの小さい方が最大半径になる。
解答
(1)
三角形の3辺は である。半周長を とすると である。ヘロンの公式より面積は である。
(2)
底面三角形の内接円半径を とする。面積は とも表せるので、(1) より したがって である。
三角柱の内部に半径 の球が含まれるとする。球の中心を底面に正射影した点から、底面三角形の各辺までの距離は少なくとも でなければならない。したがって である。また柱の高さは4なので、上下の底面からの距離を考えると である。よって である。
実際、底面三角形の内心の真上で、高さ2の点を中心に半径 の球を置けば、側面にも上下の底面にも収まる。したがって最大半径は である。