北海道大学 2017年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

実数 $c$ に対して，数列 ${a_{n}}$ を

a_{1} = c, a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{2} ∣ a_{n} ∣ + 1 (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

によって定める。

(1) $c ≧ 0$ とする。このとき，すべての $n$ に対して $a_{n} ≧ 0$ が成り立つことを示せ。さらに，数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

(2) $c < 0$ とする。このとき，すべての $n$ に対して $a_{n} < 0$ が成り立つような実数 $c$ の値の範囲を求めよ。

(3) 数列 ${a_{n}}$ が収束するような実数 $c$ の値の範囲を求めよ。

出典：北海道大学 2017年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

$a_{n} ≧ 0$ のときは $a_{n + 1} = a_{n} /2 + 1$ 、 $a_{n} < 0$ のときは $a_{n + 1} = 3 a_{n} /2 + 1$ になる。(1) は非負性が保たれることを帰納的に示し、不動点2を引いて一般項を出す。(2) は負の側の式で不動点 $- 2$ を引き、全項負となる条件を調べる。(3) は $- 2 < c < 0$ では有限回で非負側へ移ることを示す。

解答

(1)

$c ≧ 0$ とする。 $a_{n} ≧ 0$ なら $∣ a_{n} ∣ = a_{n}$ なので $a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{2} a_{n} + 1 = \frac{1}{2} a_{n} + 1$ である。右辺は正であるから、 $a_{1} = c ≧ 0$ より帰納的にすべての $n$ で $a_{n} ≧ 0$ が成り立つ。

このとき $a_{n + 1} - 2 = \frac{1}{2} (a_{n} - 2)$ である。 $a_{1} = c$ だから $a_{n} - 2 = (c - 2) (\frac{1}{2})^{n - 1}$ となり、 $a_{n} = 2 + \frac{c - 2}{2 ^{n - 1}}$ である。

(2)

$c < 0$ とする。すべての項が負である間は $∣ a_{n} ∣ = - a_{n}$ なので $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{2} a_{n} + 1 = \frac{3}{2} a_{n} + 1$ である。したがって $a_{n + 1} + 2 = \frac{3}{2} (a_{n} + 2)$ であり、負の状態が続く限り $a_{n} = - 2 + (c + 2) (\frac{3}{2})^{n - 1}$ となる。

すべての $n$ で $a_{n} < 0$ となるためには、右辺がすべて負でなければならない。もし $c + 2 > 0$ 、すなわち $- 2 < c < 0$ なら、 $(3/2)^{n - 1}$ が大きくなるため右辺はやがて0以上になる。したがって不適である。一方、 $c + 2 ≦ 0$ なら $a_{n} = - 2 + (c + 2) (\frac{3}{2})^{n - 1} ≦ - 2 < 0$ で、すべて負である。よって求める条件は $c ≦ - 2$ である。

(3)

$c ≧ 0$ のときは (1) より $a_{n} = 2 + \frac{c - 2}{2 ^{n - 1}}$ なので $a_{n} \to 2$ である。 $c = - 2$ のときは漸化式から $a_{n} = - 2$ が続くので収束する。 $- 2 < c < 0$ のとき、負の間は $a_{n} = - 2 + (c + 2) (\frac{3}{2})^{n - 1}$ である。ここで $c + 2 > 0$ なので、右辺はやがて0以上になる。いったん $a_{n} ≧ 0$ になれば、その後は (1) と同じ形で非負性が保たれ、2に収束する。 $c < - 2$ のときは、(2) と同じ式で $a_{n} = - 2 + (c + 2) (\frac{3}{2})^{n - 1}$ がすべての $n$ で成り立ち、 $c + 2 < 0$ だから $a_{n} \to - \infty$ である。したがって収束しない。

以上より、数列 ${a_{n}}$ が収束する条件は $c ≧ - 2$ である。

北海道大学 2017年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2017年度
後期・理系数学後期第3問