北海道大学 2017年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$n$ を自然数とする。

(1) 二項定理を用いて $(z + z^{- 1})^{2 n}$ を展開せよ。ただし， $z$ は0でない複素数とする。

(2) $z = cos θ + i sin θ$ とおき，(1)の展開式を用いて，等式

(2 cos θ)^{2 n} =_{2 n} C_{0} cos (2 n θ) +_{2 n} C_{1} cos (2 (n - 1) θ) + \dots\dots

\dots\dots +_{2 n} C_{k} cos (2 (n - k) θ) + \dots\dots +_{2 n} C_{2 n} cos (- 2 n θ)

が成り立つことを示せ。ただし， $i$ は虚数単位である。

(3) 次の等式を示せ。

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (cos θ)^{2 n} d θ = \frac{( 2 n ) ! π}{2 ^{2 n + 1} ( n !) ^{2}}

出典：北海道大学 2017年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1) は二項定理で $(z + z^{- 1})^{2 n}$ を展開し、指数を $2 n - 2 k$ に整理する。(2) は $∣ z ∣ = 1$ のとき $z^{- 1} = \overline{z}$ 、 $z + z^{- 1} = 2 cos θ$ であり、各項の実部が $cos (2 (n - k) θ)$ になることを使う。(3) は両辺を積分し、 $k = n$ 以外の余弦項の積分が0になることを示す。

解答

(1)

二項定理より $(z + z^{- 1})^{2 n} = \sum_{k = 0}^{2 n}_{2 n} C_{k} z^{2 n - k} (z^{- 1})^{k}$ である。指数をまとめると $(z + z^{- 1})^{2 n} = \sum_{k = 0}^{2 n}_{2 n} C_{k} z^{2 n - 2 k}$ となる。

(2)

$z = cos θ + i sin θ$ とおくと $∣ z ∣ = 1$ であり、 $z^{- 1} = cos θ - i sin θ$ である。したがって $z + z^{- 1} = 2 cos θ$ である。また整数 $m$ について、 $z^{m}$ の実部は $cos m θ$ である。

(1) の両辺に $z = cos θ + i sin θ$ を代入して実部を比較すると

(2 cos θ)^{2 n} = k = 0 \sum 2 n_{2 n} C_{k} cos (2 n - 2 k) θ

すなわち

(2 cos θ)^{2 n} = k = 0 \sum 2 n_{2 n} C_{k} cos (2 (n - k) θ)

を得る。これは問題の等式である。

(3)

(2) の等式を $0 ≦ θ ≦ π /2$ で積分する。左辺は $2^{2 n} \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{2 n} θ d θ$ である。右辺について、 $k \neq = n$ のとき

\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos (2 (n - k) θ) d θ = [\frac{sin ( 2 ( n - k ) θ )}{2 ( n - k )}]_{0}^{\frac{π}{2}} = 0

である。 $k = n$ のときだけ $\int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 d θ = \frac{π}{2}$ が残る。したがって

2^{2 n} \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{2 n} θ d θ =_{2 n} C_{n} \frac{π}{2}

である。よって

\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{2 n} θ d θ = \frac{_{2 n} C _{n} π}{2 ^{2 n + 1}}

であり、 $_{2 n} C_{n} = (2 n)! / (n!)^{2}$ より

\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{2 n} θ d θ = \frac{( 2 n )! π}{2 ^{2 n + 1} ( n ! ) ^{2}}

である。

北海道大学 2017年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2017年度
後期・理系数学後期第2問