問題
自然数に対して
とおく。
(1) ，を求め，
が成り立つことを示せ。
(2) との1の位の数をそれぞれ求めよ。
(3) の1の位の数を求めよ。ただし，実数に対してはを超えない最大の整数を表す。たとえばである。
出典：北海道大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
とはいずれも方程式を満たすため，和も同じ漸化式を満たす。(2)は漸化式を1の位，つまり10を法として計算し，周期を確認する。(3)はかつ1000が偶数であることから，は整数より少し小さいので，床関数はになる。
解答
(1)
であり である。
ここで，またはとすると，どちらも を満たす。したがって である。これをとについて足すと が成り立つ。
(2)
1の位だけを考えるため，漸化式を10で割った余りで計算する。初めの値は である。漸化式から順に求めると，1の位は と並び，この後またに戻るので周期12で繰り返す。したがって である。よっての1の位は2，の1の位は6である。
(3)
であり，1000は偶数なので である。したがって は整数であり，はより少し小さい。よって である。
(2)で見たようにの1の位は周期12であり だから，の1の位はの1の位と同じで4である。したがっての1の位は である。