問題
3点，，を考える。
(1) がをみたすとき，が不等式
の表す領域に含まれるためのの条件をを用いて表せ。
(2) が(1)の条件をみたすとき，の面積の最大値とそのときのの値を求めよ。
出典：北海道大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
領域をで表すとになる。三角形が領域に含まれるには辺上でこの不等式が成り立てばよい。辺では，辺ではとなるため，それぞれ，を得る。(2)は面積をで表し，許された区間の端点で最大を調べる。
解答
(1)
点に対して とおく。与えられた領域は で表される。
まず辺を調べる。辺上の点は と表せるので である。より最大値はなので，辺は領域内にある。
次に辺上の点をと表すと である。これがで常に1以下となる条件は である。実際，なら最大は端点で1となり，なら内点で1を超える。
同様に，辺上の点をとおくと となる。したがって辺が領域に含まれる条件は である。
よって条件は である。より共通範囲は である。
(2)
三角形の面積をとすると である。ここで であるから，絶対値は外せる。
固定したに対し，はについて下に凸な二次式である。したがって区間 での最大値は端点で生じる。のときものときも である。よって であり，等号は のときに生じる。このときは端点なので である。したがって面積の最大値は で，そのとき である。