北海道大学 2016年度
後期・理系数学 後期 第3問

解答

extbf{(1)} $Q$は半直線$OP$上にあるので，$z$と$w$は同じ向きの複素数である。また $|z||w|=1$ である。したがって$w$は$z$を同じ方向に長さが逆数になるように移した点であり $w=\frac{z}{|z{|}^2}$ である。この変換は自分自身が逆変換なので $z=\frac{w}{|w{|}^2}$ である。複素数表示では $z=\frac{1}{\overline{w}}$ とも書ける。

(2)

点$P(z)$は中心$1-i$，半径$\sqrt{2}$の円上を動くので $|z-(1-i)|=\sqrt{2}$ である。この円は原点を通る。$z=1/\overline{w}$を代入し，両辺を二乗して$|w{|}^2$を掛けると $1-(1+i)w-(1-i)\overline{w}=0$ である。$w=X+iY$とおくと $(1+i)w+(1-i)\overline{w}=2(X-Y)$ なので $X-Y=\frac{1}{2}$ である。したがって$Q$の軌跡は直線 $x-y=\frac{1}{2}$ である。

別解。座標だけで確認することもできる。$w=X+iY$，$R=X^2+Y^2$とおくと，(1)より $z=\frac{w}{|w{|}^2}=\frac{X}{R}+i\frac{Y}{R}$ である。元の円の方程式は $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=2$ すなわち $x^2+y^2-2x+2y=0$ である。これに$x=X/R$，$y=Y/R$を代入すると $\frac{1}{R}-\frac{2X}{R}+\frac{2Y}{R}=0$ であり，$R>0$より $X-Y=\frac{1}{2}$ を得る。

(3)

点$P$が $|z-\beta |=r$ を満たすとする。(1)より$z=1/\overline{w}$を代入すると $\left|\frac{1}{\overline{w}}-\beta \right|=r$ である。両辺を二乗して$|w{|}^2$を掛けると $1-\overline{\beta }w-\beta \overline{w}+(|\beta {|}^2-r^2)|w{|}^2=0$ である。ここで$|\beta |\ne r$なので $D=|\beta {|}^2-r^2$ とおくと$D\ne 0$である。上式を$D$で割って平方完成すると ${\left|w-\frac{\beta }{D}\right|}^2=\frac{r^2}{D^2}$ となる。したがって$Q$の軌跡は，中心 $\frac{\beta }{|\beta {|}^2-r^2}$ 半径 $\frac{r}{||\beta {|}^2-r^2|}$ の円である。