北海道大学 2016年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$0 < t ≦ \frac{π}{2}$ とし，媒介変数 $θ$ を用いて

x = cos^{3} θ, y = sin^{3} θ (0 ≦ θ ≦ t)

と表される曲線の長さを $l (t)$ とおく。

(1) $l (t)$ を求めよ。

(2) 原点 $O (0, 0)$ と点 $P (cos^{3} t, sin^{3} t)$ の距離を $k (t)$ とおく。 $0 < t ≦ \frac{π}{2}$ において， $\frac{k ( t )}{l ( t )}$ の最小値とそのときの $P$ の座標を求めよ。

出典：北海道大学 2016年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

媒介変数表示の曲線の長さは $\int (d x / d θ)^{2} + (d y / d θ)^{2} d θ$ で求める。ここでは速度が $3 sin θ cos θ$ に簡単化する。(2)は $v = sin^{2} t$ とおき， $l (t) = 3 v /2$ ， $k (t)^{2} = cos^{6} t + sin^{6} t = 3 v^{2} - 3 v + 1$ として， $(k / l)^{2}$ の最小を $0 < v ≦ 1$ で調べる。

解答

(1)

$x = cos^{3} θ, y = sin^{3} θ$ であるから

\frac{d x}{d θ} = - 3 cos^{2} θ sin θ, \frac{d y}{d θ} = 3 sin^{2} θ cos θ

である。 $0 ≦ θ ≦ t ≦ \frac{π}{2}$ では $sin θ, cos θ ≧ 0$ なので，速度は

(\frac{d x}{d θ})^{2} + (\frac{d y}{d θ})^{2} = 3 sin θ cos θ

である。したがって $l (t) = \int_{0}^{t} 3 sin θ cos θ d θ = \frac{3}{2} sin^{2} t$ である。

(2)

点 $P$ の座標は $(cos^{3} t, sin^{3} t)$ であるから $k (t)^{2} = cos^{6} t + sin^{6} t$ である。 $v = sin^{2} t$ とおくと， $0 < v ≦ 1$ であり， $cos^{2} t = 1 - v$ だから $k (t)^{2} = (1 - v)^{3} + v^{3} = 3 v^{2} - 3 v + 1$ である。また $l (t) = \frac{3}{2} v$ である。よって $(\frac{k ( t )}{l ( t )})^{2} = \frac{4 ( 3 v ^{2} - 3 v + 1 )}{9 v ^{2}}$ である。この右辺を $H (v)$ とおくと $H^{'} (v) = \frac{4 ( 3 v - 2 )}{9 v ^{3}}$ である。したがって $0 < v ≦ 1$ で $H (v)$ は $v = \frac{2}{3}$ のとき最小となる。

このとき $(\frac{k ( t )}{l ( t )})^{2} = \frac{1}{3}$ なので，求める最小値は $\frac{1}{3}$ である。また $sin^{2} t = \frac{2}{3}, cos^{2} t = \frac{1}{3}$ であり， $0 < t ≦ \frac{π}{2}$ だから $sin t = \frac{2}{3}, cos t = \frac{1}{3}$ である。よってそのときの $P$ の座標は $(\frac{1}{3 3}, \frac{2 2}{3 3})$ である。

北海道大学 2016年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2016年度
後期・理系数学後期第1問