北海道大学 2016年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

$f (x) = ∣ x (x - 2) ∣ + ∣ (x - 1) (x - 4) ∣ + 3 x - 10$ $(- 2 ≦ x ≦ 4)$ とおく。

(1) 関数 $y = f (x)$ のグラフをかけ。グラフと $x$ 軸との2つの交点の $x$ 座標 $α$ ， $β$ $(α < β)$ の値も求めよ。

(2) (1)の $α$ ， $β$ に対して，定積分 $\int_{α}^{β} f (x) d x$ の値を求めよ。

出典：北海道大学 2016年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

絶対値の中身が符号を変える点 $0, 1, 2, 4$ で区間を分け， $- 2 ≦ x ≦ 4$ 上の $f (x)$ を一次式または二次式で表す。(1)は各区間でグラフの形と零点を確認し，交点 $α, β$ を求める。(2)は $α = - 1$ から $β = 7/3$ までを区間ごとに分け，符号を変えずに定積分を足し合わせる。

解答

(1)

絶対値の中身の符号が変わる点は $x = 0, 1, 2, 4$ である。したがって定義域 $- 2 ≦ x ≦ 4$ をこれらの点で分ける。 $- 2 ≦ x ≦ 0$ では $x (x - 2) ≧ 0$ ， $(x - 1) (x - 4) ≧ 0$ なので $f (x) = x (x - 2) + (x - 1) (x - 4) + 3 x - 10 = 2 x^{2} - 4 x - 6$ である。 $0 ≦ x ≦ 1$ では $x (x - 2) ≦ 0$ ， $(x - 1) (x - 4) ≧ 0$ なので $f (x) = - x (x - 2) + (x - 1) (x - 4) + 3 x - 10 = - 6$ である。 $1 ≦ x ≦ 2$ では両方とも負または0であるから $f (x) = - x (x - 2) - (x - 1) (x - 4) + 3 x - 10 = - 2 x^{2} + 10 x - 14$ である。 $2 ≦ x ≦ 4$ では $x (x - 2) ≧ 0$ ， $(x - 1) (x - 4) ≦ 0$ なので $f (x) = x (x - 2) - (x - 1) (x - 4) + 3 x - 10 = 6 x - 14$ である。

零点を調べると， $- 2 ≦ x ≦ 0$ では $2 x^{2} - 4 x - 6 = 2 (x - 3) (x + 1)$ より $x = - 1$ が該当する。 $0 ≦ x ≦ 1$ では $f (x) = - 6$ で零点はない。 $1 ≦ x ≦ 2$ では $- 2 x^{2} + 10 x - 14 = - 2 (x^{2} - 5 x + 7)$ で，判別式は $25 - 28 < 0$ だから零点はない。 $2 ≦ x ≦ 4$ では $6 x - 14 = 0$ より $x = \frac{7}{3}$ が該当する。したがって $α = - 1, β = \frac{7}{3}$ である。グラフは上の4つの式を各区間でつないだものである。

(2)

\int_{α}^{β} f (x) d x = \int_{- 1}^{0} (2 x^{2} - 4 x - 6) d x + \int_{0}^{1} (- 6) d x

$+ \int_{1}^{2} (- 2 x^{2} + 10 x - 14) d x + \int_{2}^{7/3} (6 x - 14) d x$ である。それぞれ計算すると $\int_{- 1}^{0} (2 x^{2} - 4 x - 6) d x = - \frac{10}{3}$ $\int_{0}^{1} (- 6) d x = - 6$ $\int_{1}^{2} (- 2 x^{2} + 10 x - 14) d x = - \frac{11}{3}$ $\int_{2}^{7/3} (6 x - 14) d x = - \frac{1}{3}$ である。よって

\int_{α}^{β} f (x) d x = - \frac{10}{3} - 6 - \frac{11}{3} - \frac{1}{3} = - \frac{40}{3}

である。

北海道大学 2016年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2016年度
文系数学前期第2問