北海道大学 2016年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

$a, b, c$ を実数とし，

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c

とおく。曲線 $C : y = f (x)$ 上に異なる2点 $P (s, f (s))$ ， $Q (t, f (t))$ がある。

(1) $P$ における $C$ の接線の方程式を求めよ。

(2) $P$ における $C$ の接線と $Q$ における $C$ の接線が平行になるための条件を $s, t, a$ の関係式として求めよ。

(3) (2)の条件のもとで，線分 $P Q$ の中点が $C$ 上にあることを示せ。

出典：北海道大学 2016年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

方針

(1)は導関数を用いて接線を点傾き式で書く。(2)は2本の接線が平行であることを $f^{'} (s) = f^{'} (t)$ に直し， $s \neq = t$ を使って $3 (s + t) + 2 a = 0$ を得る。(3)は中点の $x$ 座標を $m = (s + t) /2$ とおき， $f (m + d)$ と $f (m - d)$ の平均を計算して，条件 $3 m + a = 0$ により中点の $y$ 座標が $f (m)$ になることを示す。別解では， $f (m + X) - f (m)$ が奇関数になることを利用し，対称な2点の平均が中央の値に戻る構造として説明する。

解答

(1)

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b$ である。点 $P (s, f (s))$ における接線の傾きは $f^{'} (s) = 3 s^{2} + 2 a s + b$ なので，接線の方程式は $y - f (s) = (3 s^{2} + 2 a s + b) (x - s)$ である。すなわち $y = (3 s^{2} + 2 a s + b) (x - s) + s^{3} + a s^{2} + b s + c$ である。

(2)

$P$ と $Q$ における接線が平行であるためには，傾きが等しければよい。したがって $f^{'} (s) = f^{'} (t)$ であり，これは $3 s^{2} + 2 a s + b = 3 t^{2} + 2 a t + b$ と同値である。整理すると $(s - t) {3 (s + t) + 2 a} = 0$ である。 $P, Q$ は異なる2点であり， $s \neq = t$ だから $3 (s + t) + 2 a = 0$ である。

(3)

線分 $P Q$ の中点の $x$ 座標を $m = \frac{s + t}{2}$ とおく。また $d = \frac{s - t}{2}$ とおくと， $s = m + d$ ， $t = m - d$ である。(2)の条件から $3 (s + t) + 2 a = 0$ なので $3 m + a = 0$ である。

中点の $y$ 座標は $\frac{f ( s ) + f ( t )}{2} = \frac{f ( m + d ) + f ( m - d )}{2}$ である。ここで

\frac{f ( m + d ) + f ( m - d )}{2} = m^{3} + 3 m d^{2} + a (m^{2} + d^{2}) + bm + c = f (m) + (3 m + a) d^{2}

である。ところが $3 m + a = 0$ だから $\frac{f ( s ) + f ( t )}{2} = f (m)$ である。したがって線分 $P Q$ の中点は $(m, f (m))$ であり，これは曲線 $C$ 上の点である。

別解。(3)だけを別の見方で示す。中点を $m = \frac{s + t}{2}, d = \frac{s - t}{2}$ とおく。平行条件は $0 = f^{'} (m + d) - f^{'} (m - d) = 2 d (6 m + 2 a)$ である。 $P \neq = Q$ より $d \neq = 0$ だから $3 m + a = 0$ を得る。

ここで $G (X) = f (m + X) - f (m)$ とおくと，展開により $G (X) = X^{3} + (3 m + a) X^{2} + f^{'} (m) X$ である。いま $3 m + a = 0$ なので $G (X) = X^{3} + f^{'} (m) X$ となり， $G (X)$ は奇関数である。したがって $G (d) + G (- d) = 0$ であり，これは $f (m + d) + f (m - d) = 2 f (m)$ を意味する。よって線分 $P Q$ の中点の座標は $(m, f (m))$ で，曲線 $C$ 上にある。

北海道大学 2016年度文系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2016年度
文系数学前期第1問