問題
を正の実数とする。，を実数として，とおく。点が連立不等式，の表す領域内を動くとき，座標平面上の点が動いてできる図形の面積をとおく。
(1) のときの値を求めよ。
(2) のときの値を求めよ。
出典：北海道大学 2015年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
なので、 を固定して の範囲 を見る。 は で最小になるため、区間 が3の左にあるか、3をまたぐか、右にあるかで縦方向の の範囲が変わる。 では1区間だけ、 では で場合分けして縦の長さを積分する。
解答
であるから、 を固定すると であり、 である。したがって、固定した に対して が区間 を動くときの の最小値と最大値を調べればよい。
(1)
のとき、 である。この範囲では なので、区間 は の左側にある。 が3に近いほど は小さくなるから、 である。よって面積は である。被積分関数を整理すると なので である。
(2)
のとき、 である。区間 と の位置関係で分ける。
では、(1)と同じく縦の長さは である。
では、区間 は を含むので最小値は0である。端点までの距離は と で、 では だから、最大値は である。縦の長さは である。
でも最小値は0であるが、今度は なので、縦の長さは である。
では、区間 は の右側にある。したがって であり、縦の長さは である。
以上より
である。各項は である。したがって である。
別解。 軸上の区間 を、点 からの距離に写していると見ると、縦の上端は「区間端点のうち3から遠い方」の距離の2乗、下端は「3が区間に含まれれば0、含まれなければ近い端点」の距離の2乗で決まる。この見方を使うと、分岐点が であることを図なしでも判断できる。