北海道大学 2015年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$p$ を3以上の奇数， $θ$ を $cos θ = \frac{1}{p}$ $(0 < θ < \frac{π}{2})$ をみたす実数とし，数列 ${a_{n}}$ を $a_{n} = p^{n} cos (n θ)$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ で定める。

(1) $a_{2}$ を $p$ で表せ。

(2) $a_{n + 2}$ を $a_{n + 1}$ ， $a_{n}$ ， $p$ で表せ。

(3) すべての $n$ について $a_{n}$ は $p$ で割り切れない整数であることを示せ。

出典：北海道大学 2015年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1)は二倍角公式を使う。(2)は加法定理から $cos (n + 2) θ = 2 cos θ cos (n + 1) θ - cos n θ$ を作り、両辺に $p^{n + 2}$ を掛けて $a_{n}$ の漸化式にする。(3)はこの漸化式によって整数性を帰納し、さらに $p$ で割った余りが $2^{n - 1}$ に一致することを帰納的に示す。 $p$ が奇数なので $2$ と $p$ は互いに素である。

解答

(1)

$cos θ = 1/ p$ であるから、二倍角公式より $cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{2}{p ^{2}} - 1$ である。したがって $a_{2} = p^{2} cos 2 θ = p^{2} (\frac{2}{p ^{2}} - 1) = 2 - p^{2}$ である。

(2)

加法定理より $cos (n + 2) θ = 2 cos θ cos (n + 1) θ - cos n θ$ である。 $cos θ = 1/ p$ なので、両辺に $p^{n + 2}$ を掛けると $p^{n + 2} cos (n + 2) θ = 2 p^{n + 1} cos (n + 1) θ - p^{2} p^{n} cos n θ$ となる。したがって $a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - p^{2} a_{n}$ である。

(3)

まず $a_{1} = p cos θ = 1, a_{2} = 2 - p^{2}$ はいずれも整数である。(2)の漸化式は整数係数であるから、 $a_{n}, a_{n + 1}$ が整数なら $a_{n + 2}$ も整数である。よって数学的帰納法により、すべての $a_{n}$ は整数である。

次に $p$ で割った余りを調べる。(2)より $a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - p^{2} a_{n} \equiv 2 a_{n + 1} (mod p)$ である。また $a_{1} \equiv 1, a_{2} = 2 - p^{2} \equiv 2 (mod p)$ である。したがって帰納法により $a_{n} \equiv 2^{n - 1} (mod p)$ が成り立つ。

$p$ は3以上の奇数であるから、 $p$ と $2$ は互いに素である。したがって $2^{n - 1}$ は $p$ で割り切れない。ゆえに $a_{n} \equiv 2^{n - 1} \neq \equiv 0 (mod p)$ であり、すべての $n$ について $a_{n}$ は $p$ で割り切れない整数である。

北海道大学 2015年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2015年度
後期・理系数学後期第2問