北海道大学 2015年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$x > 0$ で定義された関数 $f (x) = \int_{1}^{e} t^{x - 1} lo g t d t$ を考える。ただし， $lo g t$ は $t$ の自然対数とし， $e$ は自然対数の底とする。

(1) $f (x)$ を求めよ。

(2) $x > 0$ において，関数 $g (x) = x^{2} f (x) - x^{2}$ の極小値，およびそのときの $x$ の値を求めよ。

出典：北海道大学 2015年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1)は $t^{x - 1}$ を積分し、 $lo g t$ を微分する部分積分で $f (x)$ を明示する。 $x > 0$ なので $x$ で割る操作は問題ない。(2)では $g (x) = x^{2} f (x) - x^{2}$ を先に整理し、導関数 $g^{'} (x) = x (e^{x} - 2)$ の符号を $x > 0$ の範囲で調べる。極小値は $x = lo g 2$ を代入して平方の形に直す。

解答

(1)

$x > 0$ である。部分積分を用いると

f (x) = \int_{1}^{e} t^{x - 1} lo g t d t = [\frac{t ^{x}}{x} lo g t]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{t ^{x}}{x} \cdot \frac{1}{t} d t

である。したがって

f (x) = \frac{e ^{x}}{x} - \frac{1}{x} \int_{1}^{e} t^{x - 1} d t = \frac{e ^{x}}{x} - \frac{1}{x} [\frac{t ^{x}}{x}]_{1}^{e}

であり、 $f (x) = \frac{e ^{x}}{x} - \frac{e ^{x} - 1}{x ^{2}} = \frac{x e ^{x} - e ^{x} + 1}{x ^{2}}$ である。

(2)

(1)より $g (x) = x^{2} f (x) - x^{2} = x e^{x} - e^{x} + 1 - x^{2}$ である。微分すると $g^{'} (x) = e^{x} + x e^{x} - e^{x} - 2 x = x (e^{x} - 2)$ である。 $x > 0$ なので、 $g^{'} (x)$ の符号は $e^{x} - 2$ の符号で決まる。したがって $0 < x < lo g 2 で g^{'} (x) < 0, x > lo g 2 で g^{'} (x) > 0$ である。よって $g (x)$ は $x = lo g 2$ で極小となる。

極小値は $g (lo g 2) = (lo g 2) \cdot 2 - 2 + 1 - (lo g 2)^{2} = 2 lo g 2 - 1 - (lo g 2)^{2}$ であり、 $2 lo g 2 - 1 - (lo g 2)^{2} = - (lo g 2 - 1)^{2}$ である。したがって $x = lo g 2, 極小値 - (lo g 2 - 1)^{2}$ である。

北海道大学 2015年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2015年度
後期・理系数学後期第1問