北海道大学 2015年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

方程式 $\frac{x ^{2}}{2} + y^{2} = 1$ で定まる楕円 $E$ とその焦点 $F (1, 0)$ がある。 $E$ 上に点 $P$ をとり，直線 $P F$ と $E$ との交点のうち $P$ と異なる点を $Q$ とする。 $F$ を通り直線 $P F$ と垂直な直線と $E$ との2つの交点を $R$ ， $S$ とする。

(1) $r$ を正の実数， $θ$ を実数とする。点 $(r cos θ + 1, r sin θ)$ が $E$ 上にあるとき， $r$ を $θ$ で表せ。

(2) $P$ が $E$ 上を動くとき， $P F + QF + R F + S F$ の最小値を求めよ。

出典：北海道大学 2015年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

焦点 $F (1, 0)$ から方向 $θ$ に距離 $r$ だけ進んだ点を楕円へ代入し、正の解を取る。(2)では、同一直線上の2交点までの距離の和を $r (θ) + r (θ + π)$ と表し、垂直方向は $θ + π /2$ を用いる。最後は $u = cos^{2} θ$ と置き、 $1/ (2 - u) + 1/ (1 + u)$ の最小値を求める。分母の和が一定であることを使うと最小化が短い。

解答

(1)

点 $(r cos θ + 1, r sin θ)$ が楕円 $E$ 上にあるので $\frac{( 1 + r c o s θ ) ^{2}}{2} + r^{2} sin^{2} θ = 1$ である。両辺を2倍して整理すると $(2 - cos^{2} θ) r^{2} + 2 r cos θ - 1 = 0$ となる。この2次方程式を $r$ について解くと

r = \frac{- cos θ \pm cos ^{2} θ + 2 - cos ^{2} θ}{2 - cos ^{2} θ} = \frac{- cos θ \pm 2}{2 - cos ^{2} θ}

である。 $2 - cos^{2} θ > 0$ であり、 $r > 0$ だから正の解を取って $r = \frac{2 - c o s θ}{2 - c o s ^{2} θ}$ である。分母は $2 - cos^{2} θ = (2 - cos θ) (2 + cos θ)$ だから $r = \frac{1}{2 + cos θ}$ である。

(2)

直線 $P F$ の方向を $θ$ とする。この直線と楕円の2交点は、焦点 $F$ から見て方向 $θ$ と $θ + π$ にある。したがって(1)より

P F + QF = \frac{1}{2 + cos θ} + \frac{1}{2 - cos θ} = \frac{2 2}{2 - cos ^{2} θ}

である。

これに垂直な直線の方向は $θ + π /2$ と $θ + 3 π /2$ である。よって

R F + S F = \frac{1}{2 - sin θ} + \frac{1}{2 + sin θ} = \frac{2 2}{2 - sin ^{2} θ}

である。 $u = cos^{2} θ$ とおくと、 $0 ≦ u ≦ 1$ かつ $2 - sin^{2} θ = 1 + u$ なので $P F + QF + R F + S F = 22 (\frac{1}{2 - u} + \frac{1}{1 + u})$ である。

ここで $(2 - u) + (1 + u) = 3$ である。正の2数 $2 - u$ と $1 + u$ の和が一定なので、積は等しいときに最大になる。逆数和 $\frac{1}{2 - u} + \frac{1}{1 + u} = \frac{3}{( 2 - u ) ( 1 + u )}$ は、積が最大のときに最小となる。したがって $2 - u = 1 + u, u = \frac{1}{2}$ で最小になる。このとき $\frac{1}{2 - u} + \frac{1}{1 + u} = \frac{2}{3/2} = \frac{4}{3}$ である。よって求める最小値は $22 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8 2}{3}$ である。

別解。最後の1変数関数を微分してもよい。

\frac{d}{d u} (\frac{1}{2 - u} + \frac{1}{1 + u}) = \frac{1}{( 2 - u ) ^{2}} - \frac{1}{( 1 + u ) ^{2}}

であり、 $0 ≦ u ≦ 1$ では $u = 1/2$ を境に負から正へ変わる。したがって同じ最小値 $82 /3$ を得る。

北海道大学 2015年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2015年度
後期・理系数学後期第3問